Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины X — мера разброса по значениям этой величины.

Ключевые формулы

• Ожидание (математическое ожидание): μ = E[X] = sum_x x · P(X = x) (для конечной или конечной по мере поддержки дискретной величины).
• Второй момент: E[X^2] = sum_x x^2 · P(X = x).
• Дисперсия: Var(X) = E[(X − μ)^2] = E[X^2] − μ^2 = sum_x (x − μ)^2 · P(X = x).
• Если поддержка бесконечна, но существуют E[X] и E[X^2] (ограничены по модулю), тогда Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2 и Var(X) ≥ 0.

Свойства

• Var(X + c) = Var(X) для любого константного c.
• Var(aX) = a^2 Var(X) для любого скаляра a.
• Var(X) ≥ 0, и Var(X) = 0 тогда, когда X константа с вероятностью 1.
• Для независимых X и Y: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Примеры

1. Пример с дискретной величиной на конечной поддержке X принимает значения {1, 2, 3} с вероятностями {1/4, 1/2, 1/4}.

• μ = E[X] = 1·1/4 + 2·1/2 + 3·1/4 = 0.25 + 1 + 0.75 = 2.
• E[X^2] = 1^2·1/4 + 2^2·1/2 + 3^2·1/4 = 0.25 + 2 + 2.25 = 4.5.
• Var(X) = E[X^2] − μ^2 = 4.5 − 4 = 0.5.

2. Пример 2: X принимает 0 или 1 P(X=1) = p, P(X=0) = 1−p.

• μ = E[X] = p.
• E[X^2] = p (поскольку 0^2 = 0 и 1^2 = 1).
• Var(X) = E[X^2] − μ^2 = p − p^2 = p(1−p).

Как посчитать быстро

• Найдите μ = E[X] = sum x · P(X = x).
• Найдите E[X^2] = sum x^2 · P(X = x).
• Var(X) = E[X^2] − μ^2.

Если хотите, могу подобрать конкретную задачу под ваш курс (например, для биномиального или пуассоновского распределения) и показать, как считать дисперсию.