При помощи производной исследуйте функцию f(x)=2x^3 -3x^2 -36x на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума
Решение задачи: исследуем функцию f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума при помощи производной.
Найдем производную f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2).
Точки критические f'(x) = 0 при x = -2 и x = 3. Эти значения делят ось на три промежутка.
Подпишем знаки производной по интервалам
- Для x < -2: взять x = -3. Тогда f'(-3) = 6(-6)(-1) > 0 ⇒ функция возрастает.
- Для -2 < x < 3: взять x = 0. Тогда f'(0) = 6( -3)(2) < 0 ⇒ функция убывает.
- Для x > 3: взять x = 4. Тогда f'(4) = 6(1)(6) > 0 ⇒ функция возрастает.
Итак, функция возрастает на (-∞, -2) и (3, ∞), убывает на (-2, 3).
Точки экстремума На x = -2 знак f' меняется с + на -, значит локальный максимум. На x = 3 знак f' меняется с - на +, значит локальный минимум.
Значения функции в точках экстремума f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) = -16 - 12 + 72 = 44. f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) = 54 - 27 - 108 = -81.
Вывод
- Промежутки возрастания: (-∞, -2) и (3, ∞)
- Промежутки убывания: (-2, 3)
- Локальный максимум: в точке (-2, 44)
- Локальный минимум: в точке (3, -81)
Дополнительно (для проверки): второй производной f''(x) = 12x - 6.
- f''(-2) = -24 - 6 = -30 < 0 → локальный максимум в x = -2.
- f''(3) = 36 - 6 = 30 > 0 → локальный минимум в x = 3.
