Найдите все точки на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению 2(х^4-2х^2+3) (у^4-4у^2+4) =7
Итак, решаем задачу по шагам.
Цель: понять структуру множества точек (x, y), действительных, удовлетворяющих уравнению 2 (x^4 − 2x^2 + 3) (y^4 − 4y^2 + 4) = 7.
- Перепишем выражения в квадратной форме
- x^4 − 2x^2 + 3 можно привести к (x^2 − 1)^2 + 2, потому что (x^2 − 1)^2 = x^4 − 2x^2 + 1. Значит x^4 − 2x^2 + 3 = (x^2 − 1)^2 + 2 ≥ 2, и минимум достигается при x^2 = 1 (то есть x = ±1).
- y^4 − 4y^2 + 4 = (y^2 − 2)^2, что явно неотрицательно и минимум 0 достигается при y^2 = 2 (то есть y = ±√2).
Обозначим: A = x^4 − 2x^2 + 3 = (x^2 − 1)^2 + 2 ≥ 2, B = y^4 − 4y^2 + 4 = (y^2 − 2)^2 ≥ 0.
Тогда уравнение принимает вид 2 A B = 7 ⇒ AB = 7/2.
- Ограничения на переменные Так как A ≥ 2, получаем B = (7/2)/A ≤ (7/2)/2 = 7/4. И поскольку B ≥ 0, имеем 0 ≤ B ≤ 7/4.
Из B = (y^2 − 2)^2 следует |y^2 − 2| ≤ √(7/4) = √7/2. Это равносильно тому, что y^2 лежит в диапазоне y^2 ∈ [2 − √7/2, 2 + √7/2].
- Выражение y через x Мы знаем, что B = (y^2 − 2)^2 = 7/(2A), где A = (x^2 − 1)^2 + 2. Значит y^2 − 2 = ± sqrt(B) = ± sqrt( 7 / (2A) ). Отсюда y^2 = 2 ± sqrt( 7 / (2A) ), где A = (x^2 − 1)^2 + 2.
Поскольку A ≥ 2, получаем sqrt( 7 / (2A) ) ∈ (0, √7/2]. Следовательно обе величины 2 + sqrt(...) и 2 − sqrt(...) неотрицательны, и существуют реальные y.
Итак, общие решения задаются формулой y = ± sqrt( 2 + sqrt( 7 / (2 [ (x^2 − 1)^2 + 2 ]) ) ), а также y = ± sqrt( 2 − sqrt( 7 / (2 [ (x^2 − 1)^2 + 2 ]) ) ).
- Что это за множество точек Для любого реального x правая часть задаёт четыре значения y (плюс-минус для каждого из двух квадратных корней внутри). Следовательно, решений бесконечно много: это набор точек на плоскости, образующий четыре симметричные ветви относительно осей координат. В примере можно привести конкретные точки:
- При x = ±1 имеем A = 2, следовательно B = 7/4 и y^2 = 2 ± √(7/4) = 2 ± √7/2. 数численно: √7/2 ≈ 1.3229, поэтому y^2 ≈ 3.3229 или 0.6771, и y ≈ ±1.823 или ±0.822.
Пример компактного представления Для любого x удовлетворяюшего x ∈ R: D = sqrt( 7 / (2 [ (x^2 − 1)^2 + 2 ]) ), тогда решения по y даются четырьмя числовыми значениями: y = ± sqrt( 2 + D ) и y = ± sqrt( 2 − D ).
Вывод Уравнение 2 (x^4 − 2x^2 + 3) (y^4 − 4y^2 + 4) = 7 не задаёт дискретное множество точек; это непрерывная кривая (на самом деле четыре симметрические ветви) в плоскости. Фиксируя x, можно найти соответствующие y по формуле выше, и наоборот.
Если нужно, могу привести график или вычислить несколько точек для конкретных значений x.
