в кубе ABCDa1b1c1d1 Найдите угол между прямыми a1b и AC

Решение (пошагово):

1. Задаём систему координат. Пусть сторона куба равна a. Пусть нижняя грань — квадрат ABCD: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0). Верхняя грань A1B1C1D1 над соответствующими вершинами: A1(0,0,a), B1(a,0,a) и т.д.

2. Направляющие векторы:

• прямая a1b задаётся вектором B − A1 = (a,0,0) − (0,0,a) = (a, 0, −a).
• прямая AC задаётся вектором C − A = (a,a,0) − (0,0,0) = (a, a, 0).

3. Косинус угла между двумя прямыми равен косинусу угла между их направлениями: cos θ = (v · w) / (|v| |w|), где v = (a, 0, −a), w = (a, a, 0).

4. dot-product и нормы:

• v · w = a·a + 0·a + (−a)·0 = a^2.
• |v| = √(a^2 + 0^2 + (−a)^2) = a√2.
• |w| = √(a^2 + a^2 + 0^2) = a√2.

5. Подставляем: cos θ = a^2 / (a√2 · a√2) = a^2 / (2a^2) = 1/2, следовательно θ = arccos(1/2) = 60°.

Ответ: угол между прямыми a1b и AC равен 60°. Это значение не зависит от длины стороны куба.