y=x^3-x^2-x+2 решить и нарисовать график

Задача: y = x^3 - x^2 - x + 2. Цель: понять решение и построить график.

Краткое резюме

• Есть один действительный корень примерно x ≈ -1.2056.
• На графике есть два комплексных корня (не видны на обычном графике). График имеет локальный максимум в x = -1/3 и локальный минимум в x = 1.
• Значение при пересечении оси y: y(0) = 2.

Пошаговое решение

1. Поиск корней на вещественной оси

• Пробуем рациональные корни ±1, ±2 (теорема Рациона): f(1) = 1, f(-1) = 1, f(2) = 4, f(-2) = -8. Ни один из них не даёт нуль.
• Следовательно, рационального корня нет; действительный корень будет иррациональным.

2. Экстремумы и монотонность

• Производная: f'(x) = 3x^2 - 2x - 1.
• Решаем f'(x) = 0: 3x^2 - 2x - 1 = 0 → x = (2 ± 4)/6 → x1 = -1/3, x2 = 1.
• Значения в точки экстремумов:
  • f(-1/3) = (-1/27) - (1/9) + (1/3) + 2 = 59/27 ≈ 2.185 (локальный максимум).
  • f(1) = 1 (локальный минимум).
• Следовательно, функция возрастает на (-∞, -1/3], убывает на [-1/3, 1], возрастает на [1, ∞).

3. Число действительных корней

• Как x → -∞, f(x) → -∞; как x → ∞, f(x) → ∞.
• Значение в локальном максимуме положительно, в локальном минимуме тоже положительно (≈ 2.185 и 1).
• Это значит: график пересекает ось x ровно один раз, на отрезке (-∞, -1/3). Других пересечений не будет.
• Следовательно, есть ровно один действительный корень, примерно в диапазоне (-2, -1).

4. Приближённое значение действительного корня

• Подставляя значения и применяя метод проб и последовательного уточнения (или метод Ньютона):
  • f(-1.2) = 0.032
  • f(-1.21) ≈ -0.026
  • Выровняем: корень примерно между -1.21 и -1.20.
  • Более точное вычисление даёт x ≈ -1.2056.
• Частное итог: корень x_real ≈ -1.2056 (один действительный корень). Остальные два корня — комплексные: x ≈ 1.1028 ± 0.6648 i.

5. Примерные точки для построения графика (для ручного чертежа)

• y-перехват: при x = 0, y = 2 → (0, 2)
• Локальный максимум: x = -1/3, y = 59/27 ≈ 2.185 → (-0.333, 2.185)
• Локальный минимум: x = 1, y = 1 → (1, 1)
• x-пересечение близко к: x ≈ -1.2056 → (≈ -1.206, 0)
• Значения в некоторых точках:
  • x = -2: y = -8
  • x = -1.5: y ≈ -2.125
  • x = -1: y = 1
  • x = -0.5: y ≈ 2.125
  • x = 0.5: y ≈ 1.375
  • x = 2: y = 4

6. Как нарисовать график

• Отмечайте оси y и x.
• Отмечайте точки: (0,2), (-1/3, 59/27), (1,1), и корень около (-1.206, 0).
• График растёт слева направо до x = -1/3, затем плавно убивает скорость и идёт к локальному минимуму при x = 1, после чего возрастает бесконечно.
• Поскольку единственный корень отрицателен, график слева от этой точки лежит ниже оси x, справа — выше.

Итог

• Действительный корень x ≈ -1.2056.
• Функция имеет локальный максимум при x = -1/3 с y ≈ 2.185 и локальный минимум при x = 1 с y = 1.
• График пересекает ось x один раз, затем уходит вверх к бесконечности при больших x.

Если хочешь, могу подобрать более точное значение корня или сгенерировать набор точек для постройки графика в любом инструменте (Excel, Desmos, Python и т.п.). Также могу привести более точное разложение на множители с коэффициентами с плавающей точкой.