математика 10-11 класс основные тригонометрические тождества

Ниже собраны основные тригонометрические тождества, обычно изучаемые в 10–11 классе. Их достаточно для типичных задач и упрощения выражений.

1. Базовые и псевдобазовые тождества

• sin^2 x + cos^2 x = 1
• 1 + tan^2 x = sec^2 x
• 1 + cot^2 x = csc^2 x

2. Обратные (рекипроктные) тождества

• csc x = 1 / sin x (sin x ≠ 0)
• sec x = 1 / cos x (cos x ≠ 0)
• cot x = 1 / tan x (tan x ≠ 0)

3. Отношения частного типа

• tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0)
• cot x = cos x / sin x (sin x ≠ 0)

4. Ко-функции (отношения ко-углу)

• sin(π/2 − x) = cos x; cos(π/2 − x) = sin x
• tan(π/2 − x) = cot x; cot(π/2 − x) = tan x
• csc(π/2 − x) = sec x; sec(π/2 − x) = csc x

5. Неравенства для знаков (четность/нечетность)

• sin(−x) = −sin x; cos(−x) = cos x; tan(−x) = −tan x
• csc(−x) = −csc x; sec(−x) = sec x; cot(−x) = −cot x

6. Формулы суммы и разности

• sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
• cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
• tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)

7. Двойной угол

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos^2 x − sin^2 x = 2 cos^2 x − 1 = 1 − 2 sin^2 x
• tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x)

8. Половинный угол

• sin(x/2) = ±√[(1 − cos x)/2]
• cos(x/2) = ±√[(1 + cos x)/2]
• tan(x/2) = sin x / (1 + cos x) = (1 − cos x) / sin x (обе формы полезны, в зависимости от ситуации)

9. Продукт–сумма (и обратные формы)

• cos x cos y = (1/2)[cos(x + y) + cos(x − y)]
• sin x sin y = (1/2)[cos(x − y) − cos(x + y)]
• sin x cos y = (1/2)[sin(x + y) + sin(x − y)]

10. Периодичность (для удобной подстановки)

• sin(x + 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos x; csc(x + 2π) = csc x
• tan(x + π) = tan x; cot(x + π) = cot x
• Sec(x + 2π) = sec x

Советы по запоминанию

• Внимательно помните базовую связку sin^2 x + cos^2 x = 1 и связанные с ней 1 + tan^2 x = sec^2 x, 1 + cot^2 x = csc^2 x.
• При работе с суммами/разницами запоминайте формулы по шаблону: sin, cos — как в алгебре: (a ± b) и (a ∓ b) в зависимости от знака.
• Для преобразований часто полезны варианты половинных/двойных углов или переход к тангенсу через sin/cos.

Если хотите, могу привести краткие примеры применения каждого блока на задачах из вашего учебника или сделать «шпаргалку» под ваш конспект.