основные тригонометрические тождества

Ниже сводка основных тригонометрических тождеств, которые часто нужны на экзаменах.

1. Основные определения (reciprocal и отношения)

• sin x = противолежащий / гипотенуза, cos x = прилежащий / гипотенуза, tan x = sin x / cos x
• csc x = 1 / sin x, sec x = 1 / cos x, cot x = cos x / sin x
• Периодичность: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tan(x + π) = tan x
• Чётность: sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x, tan(−x) = −tan x, cot(−x) = −cot x, sec(−x) = sec x, csc(−x) = −csc x

2. Пифагоровы тождества

• sin^2 x + cos^2 x = 1
• 1 + tan^2 x = sec^2 x
• 1 + cot^2 x = csc^2 x

3. Формулы двойного угла

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos^2 x − sin^2 x = 2 cos^2 x − 1 = 1 − 2 sin^2 x
• tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x)

4. Формулы половинного угла

• sin(x/2) = ± sqrt((1 − cos x)/2)
• cos(x/2) = ± sqrt((1 + cos x)/2)
• tan(x/2) = sin x / (1 + cos x) = (1 − cos x) / sin x (знаки выбираются по quadrants)

5. Формулы суммы и разности углов

• sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
• cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
• tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)

6. Формулы произведений и сумма-произведение

• sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] / 2
• cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] / 2
• sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] / 2
• Переход к сумме/разности часто используется для упрощения интегралов и треуг. уравнений

7. Ко-функции (связи через π/2)

• sin(π/2 − x) = cos x
• cos(π/2 − x) = sin x
• tan(π/2 − x) = cot x
• csc(π/2 − x) = sec x
• sec(π/2 − x) = csc x
• cot(π/2 − x) = tan x

8. Прочие полезные заметки

• Применение: для любой тождества проверяйте обе стороны, приводя к общему базовому выражению (часто sin^2 или cos^2) или к нулю.
• Обращайте внимание на домены: sec x и csc x неопределены там, где cos x = 0 или sin x = 0 соответственно; tan x неопределён там, где cos x = 0; cot x — там, где sin x = 0.
• В задачах часто полезно сначала привести к простейшему базовому тождеству sin^2 x + cos^2 x = 1, затем переходить к нужной форме.

Если хочешь, могу привести примеры применения этих тождеств к конкретной задаче или сделать компактный шпаргаль по формулами под твой формат экзамена.