Медиана основания правильной треугольной пирамиды равна √3, а высота пирамиды равна 2. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания.

Решение:

• Пусть основание — равносторонний треугольник со стороной a. В равностороннем треугольнике медиана равна высоте: m = (√3/2) a. По условию m = √3, значит √3 = (√3/2) a ⇒ a = 2.

• Для правильной (регулярной) треугольной пирамиды апекс над основанием расположен над центром основания. Обозначим центр основания O, вершину пирамиды — A, боковое ребро — AB (B — вершинa основания). Радиус OB (расстояние от центра до вершины основания) для равностороннего треугольника равен OB = a/√3 = 2/√3.

• Высота пирамиды h задана и равна 2. Точка проекции вершины A на плоскость основания совпадает с O. Рассмотрим прямоугольник AOB: AO = h = 2, OB = 2/√3, и AB — боковое ребро (гипотенуза треугольника AOB).

• Угол между боковым ребром AB и плоскостью основания равен углу ABO в треугольнике AOB (это угол между AB и его проекцией OB на плоскость основания). В этом треугольнике tan(∠ABO) = AO / OB = h / OB = 2 / (2/√3) = √3.

• Следовательно, ∠ABO = arctan(√3) = 60°.

Ответ: 60 градусов.