Теорема Пифагора

Задача: теорема Пифагора

Коротко: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов длин двух катетов: a^2 + b^2 = c^2, где

• a и b — длины катетов,
• c — длина гипотенузы (самой длинной стороны).

Пошаговое использование теоремы

1. Найти гипотенузу, зная катеты a и b

• Формула: c = sqrt(a^2 + b^2)
• Пример: катеты 6 и 8 → c = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10

2. Найти один катет, зная гипотенузу c и другой катет b

• Формула: a = sqrt(c^2 − b^2)
• Пример: гипотенуза 13 и один катет 5 → a = sqrt(13^2 − 5^2) = sqrt(169 − 25) = sqrt(144) = 12

3. Найти другой катет, зная гипотенузу c и первый катет a

• Формула: b = sqrt(c^2 − a^2)
• Пример: гипотенуза 10 и один катет 6 → b = sqrt(10^2 − 6^2) = sqrt(100 − 36) = sqrt(64) = 8

4. Converse (обратное утверждение)

• Если в треугольнике стороны удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2, то этот треугольник прямоугольный (угол между сторонами a и b равен 90°).

Доказательство теоремы (популярные варианты)

• Геометрическое доказательство через площади:

• Рассмотрим квадрат со стороной (a + b). Внутри разместим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c так, чтобы образовался квадрат со стороной c в центре.

• Общая площадь большого квадрата: (a + b)^2.

• Площадь четырех треугольников: 4 × (1/2 ab) = 2ab.

• Площадь центрального квадрата: c^2.

• Следовательно: (a + b)^2 = 2ab + c^2.

• Раскрывая (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 и приравнивая к 2ab + c^2, получаем a^2 + b^2 = c^2.

• Доказательство через подобие треугольников:

• В прямоугольном треугольнике можно построить высоту к гипотенузе, разрезав треугольник на два подобный треугольника к исходному.

• Из соотношений подобия следует, что суммарная площадь квадратов на катетах равна площади квадрата на гипотенузе, то есть a^2 + b^2 = c^2.

Типичные примеры и «практика»

• Пример 1: найдём гипотенузу для катетов 7 и 24. c = sqrt(7^2 + 24^2) = sqrt(49 + 576) = sqrt(625) = 25.

• Пример 2: гипотенуза 15, один катет 9, найдём второй катет. b = sqrt(15^2 − 9^2) = sqrt(225 − 81) = sqrt(144) = 12.

• Пример 3: проверьте, что треугольник с сторонами 5, 12 и 13 прямоугольный. 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2.

Пятёрки Пифагора и полезные подсказки

• Гипотенуза всегда длиннее любого катета.
• Типичные целочисленные тройки (пифагоровы тройки): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 9-12-15 и т.д.
• Чтобы быстро проверить: для сторон a, b, c проверьте, что a^2 + b^2 = c^2.
• В задачах на нахождение стороны обязательно помните, какая сторона является гипотенузой (самая длинная).

Если хочешь, могу решить конкретную задачу по твоим данным (например, дать входные числа и показать решение пошагово). Хочешь привести пример задачи для разбор?