НОД и НОК тренировка

Отлично! Ниже полноценная тренировка по НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) с пошаговыми решениями. Это подходит для общего школьного уровня; если хочешь другой стиль или другой уровень сложности — скажи.

Краткая памятка

• НОД(a, b) — наибольший естественный делитель, который делит оба числа.
• НОК(a, b) = (a · b) / НОД(a, b). При работе с несколькими числами удобно последовательно считать НОД/НОК pairwise.
• Евклидов алгоритм для НОД: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b); повторяем до остатка 0.
• Для трех чисел: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c); lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c).
• Разложение на простые множители можно использовать для наглядности (умножаем общие минимальные множители).

Задача 1 Найдите НОД(48, 18) и НОК(48, 18).

Решение

1. НОД через разложение на простые множители:

• 48 = 2^4 · 3
• 18 = 2 · 3^2 общие множители: 2^min(4,1) · 3^min(1,2) = 2^1 · 3^1 = 6. Ответ НОД = 6.

2. НОК через НОД: НОК(48, 18) = (48 · 18) / НОД = (48 · 18) / 6 = 48 · 3 = 144. Ответ НОК = 144.

Задача 2 Найдите НОД(210, 56) и НОК(210, 56).

Решение

1. НОД по Евклиду: 210 mod 56 = 210 − 56·3 = 42 gcd(210, 56) = gcd(56, 42) 56 mod 42 = 14 gcd(42, 14) = 14 Ответ НОД = 14

2. НОК через НОД: НОК(210, 56) = (210 · 56) / 14 = 210 · 4 = 840 Ответ НОК = 840

Задача 3 Найдите НОД трех чисел: gcd(60, 84, 36).

Решение

1. gcd(60, 84) = 12 (почему: 60 = 12·5, 84 = 12·7)
2. gcd(12, 36) = 12 Ответ НОД = 12

Задача 4 Найдите НОК трех чисел: lcm(6, 8, 9).

Решение

1. lcm(6, 8) = 24 (поскольку 6·8 = 48, gcd(6,8)=2, 48/2 = 24)
2. lcm(24, 9) = 24·9 / gcd(24, 9) = 216 / 3 = 72 Ответ НОК = 72

Задача 5 Найдите общий знаменатель (НОК) для дробей 3/4 и 5/6.

Решение

1. Знаменатели: 4 и 6. gcd(4, 6) = 2
2. НОК(4, 6) = (4 · 6) / 2 = 12 Ответ: общий знаменатель 12. Приведем дроби к общему знаменателю: 3/4 = 9/12; 5/6 = 10/12.

Задача 6 Упростите дробь 270/360.

Решение

1. gcd(270, 360): 360 mod 270 = 90; 270 mod 90 = 0 → gcd = 90
2. Делим числитель и знаменатель на 90: 270/360 = 3/4 Ответ: 3/4

Задача 7 Разложение на простые множители и нахождение НОД/НОК: gcd(270, 192) и lcm(270, 192).

Решение

1. Разложение:

• 270 = 2 · 3^3 · 5
• 192 = 2^6 · 3

2. НОД: взяли общие минимальные степени: 2^min(1,6) · 3^min(1,3) = 2^1 · 3^1 = 6
3. НОК: (270 · 192) / gcd = (270 · 192) / 6 270/6 = 45, 192 · 45 = 8640 Ответ НОД = 6, НОК = 8640

Задача 8 Найдите НОК знаменателей 7, 9 и 12.

Решение

1. НОК(7, 9) = 63 (так как 7 и 9 взаимно просты)
2. gcd(63, 12) = 3 (63 mod 12 = 3)
3. НОК(63, 12) = (63 · 12) / 3 = 252 Ответ НОК = 252

Задача 9 Упростите дробь 81/27.

Решение

1. gcd(81, 27) = 27
2. 81/27 = 3/1 = 3 Ответ: 3

Задача 10 Даны числа a = 14 и b = 35. Найдите gcd и lcm.

Решение

1. gcd(14, 35) = 7 (делители: 14 → 1,2,7,14; 35 → 1,5,7,35)
2. lcm(14, 35) = (14 · 35) / gcd = (14 · 35) / 7 = 2 · 35 = 70 Ответ: НОД = 7, НОК = 70

Как работать дальше

• Если хочешь больше практики, могу сгенерировать ещё набор задач разной сложности (например, задачи на НОД/НОК с большими числами, с несколькими дробями, с текстовыми задачами).
• Можем перейти к конкретной задаче из твоего изображения — просто скинь изображение, и я разберу её пошагово.

Если хочешь, могу адаптировать стиль под конкретный класс или школьную программу (например, упор на Евклидов метод или на разложение на простые множители).