Задача Задача №3625336
А
А
"Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение (3x + 7y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 6) тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых…
Запрос пользователя
"Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение (3x + 7y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 6) тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?"
Хорошо давай разбираться, как найти минимальное A. Мы сделаем это по шагам.
- Что значит выражение тождественно истинно для всех неотрицательных x, y?
- Нужно, чтобы для любых x ≥ 0, y ≥ 0 выполнялось: (3x + 7y < A) OR (x ≥ y) OR (y > 6).
- Где может дать сбой такое утверждение?
- Неправильно, если все три условия ложно: 3x + 7y ≥ A AND x < y AND y ≤ 6.
- Чтобы союз был истинным повсюду, достаточно исключить возможность существования таких (x, y). Значит нужно выбрать A так, чтобы для всех пар с y ≤ 6 и x < y выполнялось 3x + 7y < A (чтобы первый член делал выражение истинным).
- Как найти максимум 3x + 7y при ограничениях x < y и y ≤ 6?
- Для фиксированного y максимум достигается при x = y − 1 (так как 3x + 7y растёт по x).
- Тогда 3x + 7y = 3(y − 1) + 7y = 10y − 3.
- Значения y от 1 до 6 (для y = 0 не существует x < y).
- Максимум: y = 6 → 10·6 − 3 = 57.
- Какой должен быть минимальный A?
- Чтобы при любых x < y и y ≤ 6 выполнялось 3x + 7y < A, достаточно A > 57.
- Минимальное целое A равно 58.
- Почему именно 58, а не что-то другое?
- Если A = 58, то для всех пар с y ≤ 6 и x < y имеем 3x + 7y ≤ 57 < 58, значит первый дизъюнкт выполняется и выражение тождественно истинно.
- Если бы A было 57 или меньше, наш максимум 57 уже был бы нестрого меньше A, и наш поиск нашёл бы контрпример. Поэтому 58 — минимальное.
- Сопоставление с твоей попыткой
- Твоя запись была “Ученик не дал ответ на задание” — это не решение. Правильный ответ — 58, с объяснением выше. Можно запомнить идею: ищем верхнюю грань в ограничении x < y и y ≤ 6, чтобы первая часть всегда держала выражение истинным.
Полезная подсказка на будущее
- Когда нужно проверить выражение вида A OR B OR C на “тождественную истинность”, чаще всего достаточно найти все случаи, где A и B и C могут быть ложны одновременно, и затем подобрать A так, чтобы хотя бы одна часть стала истинной. В этой задаче критическая зона — y ≤ 6 и x < y, в которой мы эксплуатируем максимум 3x + 7y.
Хочешь, попробуем ещё пару таких задач, чтобы закрепиться? Поставь лайк или дизлайк, чтобы я знал, как тебе такой разбор.
