Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(15{,}8\ \text{км/ч}\).
Решение
Средняя скорость находится по формуле:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}. \]
- За \(4\) ч со скоростью \(16{,}1\ \text{км/ч}\) катамаран проплыл:
\[ S_1=16{,}1\cdot 4=64{,}4\ \text{км}. \]
- За \(3\) ч со скоростью \(15{,}4\ \text{км/ч}\):
\[ S_2=15{,}4\cdot 3=46{,}2\ \text{км}. \]
- Общие расстояние и время:
\[ S_{\text{общ}}=64{,}4+46{,}2=110{,}6\ \text{км}, \]
\[ t_{\text{общ}}=4+3=7\ \text{ч}. \]
- Постоянная скорость:
\[ v=\frac{110{,}6}{7}=15{,}8\ \text{км/ч}. \]
Проверка
\[ 15{,}8\cdot 7=110{,}6\ \text{км}. \]
Получилось то же расстояние за те же \(7\) часов.
Ответ: \(15{,}8\ \text{км/ч}\).
Важно: среднюю скорость нельзя находить просто как полусумму двух скоростей, потому что катамаран двигался с ними разное количество времени.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни, как находить среднюю скорость в общем случае
Главное правило
Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё затраченное время:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}. \]
Общий алгоритм
- Найти расстояние на каждом участке пути.
- Сложить все расстояния: \[ S_{\text{общ}}=S_1+S_2+\ldots+S_n. \]
- Сложить всё время движения, включая остановки: \[ t_{\text{общ}}=t_1+t_2+\ldots+t_n+t_{\text{ост}}. \]
- Разделить общий путь на общее время.
Если известны скорости и время участков
Путь на каждом участке:
\[ S_i=v_i t_i. \]
Тогда общая формула имеет вид:
\[ \boxed{v_{\text{ср}}= \frac{v_1t_1+v_2t_2+\ldots+v_nt_n} {t_1+t_2+\ldots+t_n}} \]
Это среднее взвешенное: скорость, с которой двигались дольше, сильнее влияет на результат.
Например, если \(2\) ч ехали со скоростью \(60\ \text{км/ч}\), а \(3\) ч — со скоростью \(80\ \text{км/ч}\), то:
\[ v_{\text{ср}}= \frac{60\cdot2+80\cdot3}{2+3} =\frac{360}{5} =72\ \text{км/ч}. \]
Если известны расстояния и скорости
Сначала находят время каждого участка:
\[ t_i=\frac{S_i}{v_i}. \]
Поэтому:
\[ \boxed{v_{\text{ср}}= \frac{S_1+S_2+\ldots+S_n} {\frac{S_1}{v_1}+\frac{S_2}{v_2}+\ldots+\frac{S_n}{v_n}}} \]
Особые случаи
1. Одинаковое время движения
Если с каждой скоростью двигались одинаковое время, можно найти обычное среднее арифметическое:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{v_1+v_2+\ldots+v_n}{n}. \]
Например:
\[ \frac{40+60}{2}=50\ \text{км/ч}. \]
2. Одинаковые расстояния
Если два одинаковых расстояния прошли со скоростями \(v_1\) и \(v_2\), то:
\[ \boxed{v_{\text{ср}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}} \]
Например, половину пути проехали со скоростью \(40\ \text{км/ч}\), вторую половину — \(60\ \text{км/ч}\):
\[ v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot40\cdot60}{40+60} =48\ \text{км/ч}. \]
Не \(50\ \text{км/ч}\), потому что на медленный участок ушло больше времени.
3. Были остановки
Время остановки обязательно входит в общее время, хотя расстояние за это время равно нулю.
Например, автомобиль проехал \(120\ \text{км}\) за \(2\) ч и затем стоял \(1\) ч:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{120}{2+1}=40\ \text{км/ч}. \]
Важно запомнить
Нельзя просто складывать скорости и делить на их количество, если время движения с этими скоростями было разным.
Основная формула для всех случаев:
\[ \boxed{\text{средняя скорость}= \frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}} \]
Перед вычислением нужно привести единицы к одному виду, например километры и часы или метры и секунды.
