Реши задание на изображении

Краткий ответ

1

Десять рациональных чисел:

\[ 0{,}0011;\ 0{,}0012;\ 0{,}0013;\ 0{,}0014;\ 0{,}0015;\ 0{,}0016;\ 0{,}0017;\ 0{,}0018;\ 0{,}0019;\ 0{,}0020. \]

Несколько иррациональных чисел:

\[ \frac{\sqrt2}{1000},\quad \frac{\sqrt3}{1000},\quad \frac{\sqrt5}{1000},\quad \frac{\pi}{1000}. \]

Все они находятся между \(0{,}001\) и \(0{,}01\).

2

Так как

\[ \sqrt2\approx1{,}414,\qquad \sqrt3\approx1{,}732, \]

то подходят числа:

\[ \boxed{1,(5);\ 1{,}68}. \]

3

Верно утверждение:

\[ \boxed{\text{если }a\in\mathbb N,\text{ то }a\in\mathbb Z}. \]

Обратное утверждение неверно, например \(-1\in\mathbb Z\), но \(-1\notin\mathbb N\).

4

Возможные ответы:

а) \(x\in\mathbb Z,\ x\notin\mathbb N\):

\[ \boxed{-1;\ -5}. \]

б) \(x\in\mathbb Q,\ x\notin\mathbb Z\):

\[ \boxed{\frac12;\ -\frac73}. \]

в) \(x\in\mathbb Q,\ x\notin\mathbb N\):

\[ \boxed{\frac12;\ -\frac32}. \]

5

\[ \begin{aligned} 6&\in\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R;\\ -1{,}98&\in\mathbb Q,\mathbb R;\\ 0{,}5(87)&\in\mathbb Q,\mathbb R;\\ \pi&\in\mathbb R. \end{aligned} \]

6

Примеры:

а) \(\mathbb Z\) и \(\mathbb R\):

\[ \boxed{-3;\ 0;\ 8}. \]

б) \(\mathbb R\) и \(\mathbb N\):

\[ \boxed{1;\ 4;\ 10}. \]

в) \(\mathbb Q\) и \(\mathbb R\):

\[ \boxed{-\frac23;\ \frac57;\ \frac{11}{4}}. \]

г) \(\mathbb N,\mathbb Q\) и \(\mathbb R\):

\[ \boxed{2;\ 6;\ 9}. \]

7

\[ \begin{aligned} \frac13&=0,(3);\\ \frac23&=0,(6);\\ \frac56&=0,8(3);\\ \frac79&=0,(7);\\ 1\frac8{11}&=1,(72);\\ 2\frac4{15}&=2,2(6). \end{aligned} \]

8

Число	Периодическая дробь	До десятых	До сотых	До тысячных
\(\frac19\)	\(0,(1)\)	\(0,1\)	\(0,11\)	\(0,111\)
\(\frac3{32}\)	\(0,09375(0)\)	\(0,1\)	\(0,09\)	\(0,094\)
\(\frac27\)	\(0,(285714)\)	\(0,3\)	\(0,29\)	\(0,286\)
\(\frac{13}{64}\)	\(0,203125(0)\)	\(0,2\)	\(0,20\)	\(0,203\)
\(\frac{37}{15}\)	\(2,4(6)\)	\(2,5\)	\(2,47\)	\(2,467\)
\(\frac{87}{65}\)	\(1,3(384615)\)	\(1,3\)	\(1,34\)	\(1,338\)

Запись \((0)\) означает, что дальше бесконечно повторяются нули.

9

Все равенства верны:

\[ \boxed{ 2,(3)=2\frac13;\quad 0,1(6)=\frac16;\quad 7,(18)=7\frac2{11};\quad 3,4(6)=3\frac7{15} }. \]

10

Пусть

\[ x=\frac ab,\qquad y=\frac cd, \]

где \(a,b,c,d\in\mathbb Z\), \(b\ne0\), \(d\ne0\). Тогда

\[ x-y=\frac{ad-bc}{bd},\qquad xy=\frac{ac}{bd}. \]

Если \(y\ne0\), то \(c\ne0\) и

\[ \frac{x}{y}=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}. \]

Во всех случаях числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, разность, произведение и частное рациональных чисел рациональны.

11

\[ \begin{aligned} 13&\in\mathbb N;\\ 0{,}8&\in\mathbb Q;\\ \sqrt3&\in\mathbb R;\\ 585&\in\mathbb N;\\ 0&\in\mathbb Z. \end{aligned} \]

Ключевой принцип

Основное соотношение между числовыми множествами:

\[ \boxed{\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R}. \]

• \(\mathbb N\) — натуральные числа;
• \(\mathbb Z\) — целые числа;
• \(\mathbb Q\) — числа вида \(\frac ab\), где \(a,b\in\mathbb Z,\ b\ne0\);
• \(\mathbb R\) — все действительные числа.

Рациональная дробь при делении превращается либо в конечную, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь. При округлении нужно посмотреть на следующую цифру: если она \(5\) или больше, последнюю сохраняемую цифру увеличиваем на \(1\).

Проверка задания 9:

\[ \frac13=0,(3),\quad \frac16=0,1(6),\quad \frac2{11}=0,(18),\quad \frac7{15}=0,4(6), \]

поэтому все четыре равенства действительно правильные.