Реши задание на изображении

Краткий ответ

На изображении видны два задания:

1. \[ \boxed{\sqrt{57-\sqrt{2024}}=\sqrt{46}-\sqrt{11}} \]

2. При \(a>2\): \[ \boxed{\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-4}}+\sqrt{a-2}=\sqrt{a+2}} \]

1. Освобождение от внешнего радикала

Используем формулу:

\[ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x+y-2\sqrt{xy}. \]

Подбираем \(x\) и \(y\), чтобы

\[ x+y=57,\qquad 2\sqrt{xy}=\sqrt{2024}. \]

Из второго равенства:

\[ 4xy=2024,\qquad xy=506. \]

Числа \(46\) и \(11\) подходят:

\[ 46+11=57,\qquad 46\cdot11=506. \]

Поэтому

\[ 57-\sqrt{2024} =46+11-2\sqrt{46\cdot11} =(\sqrt{46}-\sqrt{11})^2. \]

Так как \(\sqrt{46}>\sqrt{11}\), разность положительна:

\[ \sqrt{57-\sqrt{2024}} =\sqrt{(\sqrt{46}-\sqrt{11})^2} =\boxed{\sqrt{46}-\sqrt{11}}. \]

Проверка:

\[ (\sqrt{46}-\sqrt{11})^2 =46+11-2\sqrt{506} =57-\sqrt{2024}. \]

2. Упрощение выражения при \(a>2\)

Заметим:

\[ a^2-4=(a+2)(a-2). \]

Раскроем квадрат разности:

\[ \begin{aligned} (\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2})^2 &=(a+2)+(a-2)-2\sqrt{(a+2)(a-2)}\\ &=2a-2\sqrt{a^2-4}. \end{aligned} \]

Следовательно,

\[ \sqrt{2a-2\sqrt{a^2-4}} =\left|\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}\right|. \]

Так как \(a>2\), то \(\sqrt{a+2}>\sqrt{a-2}\), поэтому модуль можно раскрыть со знаком «плюс»:

\[ \sqrt{2a-2\sqrt{a^2-4}} =\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}. \]

Теперь складываем:

\[ \sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}+\sqrt{a-2} =\boxed{\sqrt{a+2}}. \]

Главный принцип: находить под внешним корнем полный квадрат и помнить, что \(\sqrt{x^2}=|x|\).