Реши задание на изображении

Ответ:

а) \(x=3,\;3-2\sqrt5,\;3+2\sqrt5\);

б) \(x=-5,\;4\);

в) \(x=1,\;3\);

г) \(x=1,\;-\dfrac57\).

---

а) \((x^2-6x)^2-2(x-3)^2=81\)

Выделим повторяющееся выражение:

\[ x^2-6x=(x-3)^2-9. \]

Пусть

\[ t=(x-3)^2,\qquad t\ge0. \]

Тогда:

\[ (t-9)^2-2t=81, \]

\[ t^2-18t+81-2t=81, \]

\[ t^2-20t=0, \]

\[ t(t-20)=0. \]

Получаем \(t=0\) или \(t=20\).

\[ (x-3)^2=0 \Rightarrow x=3; \]

\[ (x-3)^2=20 \Rightarrow x=3\pm2\sqrt5. \]

---

б) \((x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=144\)

Сгруппируем множители:

\[ (x-1)(x+2)=x^2+x-2, \]

\[ (x-3)(x+4)=x^2+x-12. \]

Пусть

\[ t=x^2+x-7. \]

Тогда:

\[ x^2+x-2=t+5,\qquad x^2+x-12=t-5. \]

Получаем:

\[ (t+5)(t-5)=144, \]

\[ t^2-25=144, \]

\[ t^2=169, \]

\[ t=13 \quad \text{или} \quad t=-13. \]

1. При \(t=13\):

\[ x^2+x-7=13, \]

\[ x^2+x-20=0, \]

\[ (x+5)(x-4)=0. \]

\[ x=-5,\quad x=4. \]

2. При \(t=-13\):

\[ x^2+x+6=0. \]

Его дискриминант \(D=1-24<0\), действительных корней нет.

---

в) \((x+1)^5-(x-5)^5=1056\)

Аргументы степеней удобно сделать симметричными. Пусть

\[ y=x-2. \]

Тогда

\[ x+1=y+3,\qquad x-5=y-3. \]

\[ (y+3)^5-(y-3)^5=1056. \]

После раскрытия скобок одинаковые слагаемые сокращаются:

\[ 30y^4+540y^2+486=1056. \]

\[ y^4+18y^2-19=0. \]

Пусть \(t=y^2\). Тогда:

\[ t^2+18t-19=0, \]

\[ (t-1)(t+19)=0. \]

Так как \(t=y^2\ge0\), подходит только \(t=1\):

\[ y=\pm1. \]

\[ x-2=1 \Rightarrow x=3; \]

\[ x-2=-1 \Rightarrow x=1. \]

Проверка:

\[ 2^5-(-4)^5=32+1024=1056; \]

\[ 4^5-(-2)^5=1024+32=1056. \]

---

г) \(\displaystyle x^2+\frac{25x^2}{(5+2x)^2}=\frac{74}{49}\)

Сначала учитываем ограничение:

\[ 5+2x\ne0,\qquad x\ne-\frac52. \]

Умножим уравнение на \(49(2x+5)^2\) и разложим полученное выражение на множители:

\[ 196x^4+980x^3+2154x^2-1480x-1850=0, \]

\[ 2(x-1)(7x+5)(14x^2+74x+185)=0. \]

У квадратного трёхчлена

\[ 14x^2+74x+185 \]

дискриминант отрицателен:

\[ D=74^2-4\cdot14\cdot185=-4884<0. \]

Значит, остаётся:

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1; \]

\[ 7x+5=0 \Rightarrow x=-\frac57. \]

Проверка:

\[ 1+\frac{25}{7^2}=\frac{74}{49}; \]

\[ \left(-\frac57\right)^2+ \frac{25\left(-\frac57\right)^2} {\left(5-\frac{10}{7}\right)^2} = \frac{25}{49}+1=\frac{74}{49}. \]