Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Решите уравнение:

1. \(x=4\); 2) \(x=7\); 3) \(x=-6\); 4) \(x=0{,}25\);
2. \(x=0\) или \(x=-\dfrac56\); 6) \(x=-\dfrac72\).

2. Упростите выражение:

1. \(a^8\); 2) \(b^{12}\); 3) \(\dfrac1{5^9}\); 4) \(5a-4\);
2. \(-12p^7q^3\); 6) \(4x^{10}y^{14}\); 7) \(2x+7\); 8) \(4\).

3. Разложите на множители:

1. \((x-3)(x+3)\);
2. \((a+b)^2\);
3. \((a+b)(a-b+6)\);
4. \((x-9)(x-1)\);
5. \((3a+2)(3a+4)\);
6. \(b(a^2+3b^2)^2\);
7. \(3(a+2b)(2a-b)\);
8. \(2(3b-y)(4b^2+3y)\).

4. Представьте в виде многочлена:

1. \(x^2+6x+9\);
2. \(a^2-4\);
3. \(-3y^2+24y+64\);
4. \(x^2+2xy+y^2-1\);
5. \(a^3+22a-28\);
6. \(x^3+64\).

5. Решите системы:

1. \((3;2)\); 2) \((3;1)\); 3) \((21;25)\);
2. \((9;11)\); 5) \(\left(-\dfrac14;1\right)\); 6) \((7;5)\).

6. Значение выражения: \(\boxed{17{,}4}\).

1. Уравнения

1. \[ 2x+5=13 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4. \]

2. \[ 2x-7=14-x \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7. \]

3. Сначала раскрываем скобки: \[ 3x-2(3x+4)=10; \] \[ 3x-6x-8=10; \] \[ -3x=18 \Rightarrow x=-6. \]

4. \[ 21{,}5(4x-1)+8(12{,}5-9x)=82; \] \[ 86x-21{,}5+100-72x=82; \] \[ 14x+78{,}5=82; \] \[ 14x=3{,}5 \Rightarrow x=0{,}25. \]

5. Выносим \(x\) за скобки: \[ 1{,}2x^2+x=0; \] \[ x(1{,}2x+1)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0 \quad \text{или} \quad 1{,}2x+1=0. \] \[ 1{,}2x=-1 \Rightarrow x=-\frac56. \]

6. Умножим обе части на \(12\), чтобы убрать знаменатели: \[ 6(1-6x)-(2x+19)=4(23-2x); \] \[ 6-36x-2x-19=92-8x; \] \[ -13-38x=92-8x; \] \[ -30x=105 \Rightarrow x=-\frac72. \]

Проверка № 1.6: \[ x=-\frac72:\quad \frac{1-6x}{2}-\frac{2x+19}{12}=11-1=10, \] \[ \frac{23-2x}{3}=\frac{30}{3}=10. \]

2. Упрощение выражений

При умножении степеней показатели складывают: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \] При возведении степени в степень показатели перемножают: \[ (a^m)^n=a^{mn}. \]

1. \[ a^3\cdot a^5=a^{3+5}=a^8. \]

2. \[ (b^4)^3=b^{4\cdot3}=b^{12}. \]

3. \[ \frac{(5^3)^2\cdot5^7}{5^{22}} =\frac{5^6\cdot5^7}{5^{22}} =\frac{5^{13}}{5^{22}} =\frac1{5^9}. \]

4. \[ (a+2)(a-2)-a(a-5) =a^2-4-a^2+5a=5a-4. \]

5. \[ 0{,}8p^4q\cdot(-5pq^2)\cdot3p^2 =-12p^{4+1+2}q^{1+2} =-12p^7q^3. \]

6. \[ \left(\frac16x^2y^2\right)^2\cdot(-12x^3y^5)^2 =\frac1{36}x^4y^4\cdot144x^6y^{10} =4x^{10}y^{14}. \]

7. \[ 5(4x^2-2x+1)-2(10x^2-6x-1) \] \[ =20x^2-10x+5-20x^2+12x+2=2x+7. \]

8. Используем формулу: \[ A^2-2AB+B^2=(A-B)^2. \] Здесь \(A=y-7\), \(B=y-9\): \[ (y-7)^2-2(y-7)(y-9)+(y-9)^2 \] \[ =[(y-7)-(y-9)]^2=2^2=4. \]

3. Разложение на множители

1. Разность квадратов: \[ x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3). \]

2. Полный квадрат: \[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. \]

3. Группируем: \[ a^2+6a+6b-b^2=(a^2-b^2)+6(a+b); \] \[ =(a+b)(a-b)+6(a+b)=(a+b)(a-b+6). \]

4. \[ (x-5)^2-16=(x-5)^2-4^2; \] \[ =(x-5-4)(x-5+4)=(x-9)(x-1). \]

5. \[ 9(a+1)^2-1=[3(a+1)-1][3(a+1)+1]; \] \[ =(3a+2)(3a+4). \]

6. Выносим \(b\): \[ a^4b+6a^2b^3+9b^5 =b(a^4+6a^2b^2+9b^4); \] \[ =b(a^2+3b^2)^2. \]

7. Выносим общий множитель \((a+2b)\): \[ (a-3b)(a+2b)+5a(a+2b) \] \[ =(a+2b)(a-3b+5a) =(a+2b)(6a-3b); \] \[ =3(a+2b)(2a-b). \]

8. Так как \(y-3b=-(3b-y)\), получаем: \[ 11b^2(3b-y)-(6y-3b^2)(y-3b) \] \[ =(3b-y)\bigl[11b^2+6y-3b^2\bigr]; \] \[ =(3b-y)(8b^2+6y) =2(3b-y)(4b^2+3y). \]

4. Представление в виде многочлена

1. \[ (x+3)^2=x^2+6x+9. \]

2. \[ (a-2)(a+2)=a^2-4. \]

3. \[ (y+8)^2-4y(y-2) =y^2+16y+64-4y^2+8y; \] \[ =-3y^2+24y+64. \]

4. \[ (x+y+1)(x+y-1)=(x+y)^2-1; \] \[ =x^2+2xy+y^2-1. \]

5. \[ (a^2-7)(a+2)-(2a-1)(a-14) \] \[ =(a^3+2a^2-7a-14)-(2a^2-29a+14); \] \[ =a^3+22a-28. \]

6. Формула суммы кубов: \[ (x+4)(x^2-4x+16)=x^3+4^3=x^3+64. \]

5. Системы уравнений

1. Складываем уравнения: \[ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=1. \end{cases} \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3. \] \[ y=5-3=2. \]

2. \[ x-y=2 \Rightarrow y=x-2. \] \[ 2x+x-2=7 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\quad y=1. \]

3. Умножим второе уравнение на \(5\): \[ \begin{cases} 25x-18y=75,\\ 25x-20y=25. \end{cases} \] \[ 2y=50 \Rightarrow y=25. \] \[ 5x-4\cdot25=5 \Rightarrow x=21. \]

4. \[ 2x+y=29 \Rightarrow y=29-2x. \] \[ 13x-15(29-2x)=-48; \] \[ 43x=387 \Rightarrow x=9,\quad y=11. \]

5. Преобразуем уравнения: \[ \begin{cases} 4x+9y=8,\\ -8x+3y=5. \end{cases} \] Умножим первое уравнение на \(2\) и сложим: \[ \begin{cases} 8x+18y=16,\\ -8x+3y=5. \end{cases} \Rightarrow 21y=21. \] \[ y=1,\qquad 4x+9=8 \Rightarrow x=-\frac14. \]

6. Раскрываем скобки: \[ \begin{cases} 5x+2y=45,\\ 5x-4y=15. \end{cases} \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ 6y=30 \Rightarrow y=5. \] \[ 5x+2\cdot5=45 \Rightarrow x=7. \]

Проверка № 5.6: \[ 4(14-5+3)-3(7-10+3)=48, \] \[ 3(21-20+3)+4(28-10-9)=12+36=48. \]

6. Значение выражения

\[ (3a-2b)^2-(2a-b)^2. \]

Подставим \(a=1{,}35\), \(b=-0{,}65\): \[ 3a-2b=3\cdot1{,}35-2(-0{,}65)=5{,}35, \] \[ 2a-b=2\cdot1{,}35-(-0{,}65)=3{,}35. \] \[ 5{,}35^2-3{,}35^2=(5{,}35-3{,}35)(5{,}35+3{,}35) \] \[ =2\cdot8{,}7=17{,}4. \]