Реши задание на изображении
Планирование вычислений углов треугольникаВычисление углов треугольника с использованием теоремы косинусовВычисление углов треугольника с использованием закона косинусовВычисление углов треугольника по сторонамПланирование краткого объяснения вычисления угловВычисление точных значений обратного косинусаУточнение приближений углов с использованием интерполяции и рядовВычисление точных приближений угловУточнение угла A и вычислений треугольникаПроверка вычислений углов с помощью тригонометрических поправокПодтверждение значений arccos и суммы угловУточнение углов треугольника с помощью тригонометрических поправокВычисление точных углов для треугольника Case6Уточнение приближений углов и форматированияПодтверждение обозначений и контекста задачиВычисление точных углов треугольникаУточнение вычислений косинусов угловВычисление тригонометрических приближенийУточнение приближения косинуса для углаВычисление точных поправок к угламПроверка точных значений угловУточнение вычислений углов и отношенийВычисление точной поправки к углу δВычисление точных значений арккосинусаУточнение поправки к углу с использованием отношения синусовПроверка тригонометрических вычислений угловПодтверждение точности произведения косинусовПроверка неравенств треугольника и округления угловУточнение округления углов до двух знаков после запятойПроверка точных сумм после округленияПланирование подробного объяснения теоремы косинусовПроверка отношений углов и сторон в треугольникахПланирование конкретного следующего вопроса на русском языкеСосредоточение на решении задачи 29Вычисление углов треугольника для нескольких наборов сторонУточнение точности вычисления угла AПроверка вычислений косинусов и соответствия углов****Планирование демонстрации формулы косинусов на примерах
Краткий ответ (угол \(A\) против стороны \(a\), \(B\) — против \(b\), \(C\) — против \(c\)):
- \(A\approx28{,}96^\circ,\ B\approx46{,}57^\circ,\ C\approx104{,}48^\circ\).
- \(A\approx53{,}58^\circ,\ B\approx13{,}29^\circ,\ C\approx113{,}13^\circ\).
- \(A\approx34{,}05^\circ,\ B\approx44{,}42^\circ,\ C\approx101{,}54^\circ\).
- \(A\approx38{,}62^\circ,\ B\approx92{,}87^\circ,\ C\approx48{,}51^\circ\).
- \(A\approx14{,}97^\circ,\ B\approx11{,}01^\circ,\ C\approx154{,}02^\circ\).
- \(A\approx135{,}58^\circ,\ B\approx15{,}50^\circ,\ C\approx28{,}92^\circ\).
Решение
Используем теорему косинусов:
\[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\qquad \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\qquad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. \]
Затем находим углы обратным косинусом.
Например, для пункта 1:
\[ \cos A=\frac{3^2+4^2-2^2}{2\cdot3\cdot4} =\frac{21}{24}=\frac78, \]
\[ \cos B=\frac{2^2+4^2-3^2}{2\cdot2\cdot4} =\frac{11}{16}, \]
\[ \cos C=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot2\cdot3} =-\frac14. \]
Следовательно,
\[ A=\arccos\frac78\approx28{,}96^\circ, \quad B=\arccos\frac{11}{16}\approx46{,}57^\circ, \quad C=\arccos\left(-\frac14\right)\approx104{,}48^\circ. \]
Для остальных пунктов получаются такие значения косинусов:
\[ \begin{array}{c|c|c|c} №&\cos A&\cos B&\cos C\\ \hline 1&\frac78&\frac{11}{16}&-\frac14\\ 2&\frac{19}{32}&\frac{109}{112}&-\frac{11}{28}\\ 3&\frac{29}{35}&\frac57&-\frac15\\ 4&\frac{25}{32}&-\frac1{20}&\frac{53}{80}\\ 5&\frac{427}{442}&\frac{587}{598}&-\frac{703}{782}\\ 6&-\frac57&\frac{53}{55}&\frac{337}{385} \end{array} \]
Проверка: в каждом случае сумма найденных углов равна примерно \(180^\circ\), как и должна быть в треугольнике.
