Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. а) \(2^{24}\); б) \(3^{6n-7}\).

2. а) \(216\); б) \(1\).

Решение

1а

Представим все числа как степени двойки:

\[ 8=2^3,\quad 16=2^4,\quad 128=2^7,\quad 64=2^6. \]

Тогда

\[ 8^9:16^3\cdot128^3:64^2 =(2^3)^9:(2^4)^3\cdot(2^7)^3:(2^6)^2. \]

Используем правило: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются:

\[ 2^{27-12+21-12}=2^{24}. \]

1б

Представим числа как степени тройки:

\[ 27=3^3,\quad 243=3^5,\quad 9=3^2. \]

\[ 27^{n-2}\cdot243^{n+1}:9^{n+3} =3^{3(n-2)}\cdot3^{5(n+1)}:3^{2(n+3)}. \]

Складываем и вычитаем показатели:

\[ 3^{3(n-2)+5(n+1)-2(n+3)} =3^{3n-6+5n+5-2n-6} =3^{6n-7}. \]

2а

Так как \(42=6\cdot7\), то

\[ \frac{42^9}{(6^2)^3\cdot7^9} =\frac{(6\cdot7)^9}{6^6\cdot7^9} =\frac{6^9\cdot7^9}{6^6\cdot7^9} =6^3=216. \]

2б

Представим всё как степени двойки:

\[ 4^{22}=(2^2)^{22}=2^{44},\qquad 8^{15}=(2^3)^{15}=2^{45}. \]

Тогда

\[ \frac{2^{50}-2\cdot4^{22}}{31\cdot8^{15}} = \frac{2^{50}-2^{45}}{31\cdot2^{45}}. \]

Вынесем \(2^{45}\) за скобки:

\[ \frac{2^{45}(2^5-1)}{31\cdot2^{45}} = \frac{2^{45}\cdot31}{31\cdot2^{45}} =1. \]

Проверка: в последнем выражении числитель и знаменатель полностью совпадают, поэтому результат действительно равен \(1\).