Cos π(4x+7)/6 = √3/2

Краткий ответ (понимаем запись как \(\cos\left(\dfrac{\pi(4x+7)}6\right)\)):

\[ \boxed{x=-2+3k \quad \text{или} \quad x=-\frac32+3k,\quad k\in\mathbb Z} \]

Решение

Используем формулу:

\[ \cos t=\frac{\sqrt3}{2} \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Здесь

\[ t=\frac{\pi(4x+7)}6. \]

Поэтому:

\[ \frac{\pi(4x+7)}6=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k. \]

Умножим на \(\dfrac{6}{\pi}\):

\[ 4x+7=\pm1+12k. \]

1-й случай:

\[ 4x+7=1+12k \]

\[ 4x=-6+12k \]

\[ x=-\frac32+3k. \]

2-й случай:

\[ 4x+7=-1+12k \]

\[ 4x=-8+12k \]

\[ x=-2+3k. \]

Проверка

При \(x=-\dfrac32+3k\):

\[ \frac{\pi(4x+7)}6=\frac{\pi}{6}+2\pi k, \]

а при \(x=-2+3k\):

\[ \frac{\pi(4x+7)}6=-\frac{\pi}{6}+2\pi k. \]

В обоих случаях косинус равен \(\dfrac{\sqrt3}{2}\). Результат верен.