Решите уравнение cos π(4x+7)/6=√3/2. в ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Ответ: \(\boxed{-\frac32}\).

Решаем уравнение: \[ \cos\frac{\pi(4x+7)}6=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Так как \[ \cos t=\frac{\sqrt3}{2} \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z, \] получаем: \[ \frac{\pi(4x+7)}6=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k. \]

Рассмотрим два случая.

1. \[ \frac{\pi(4x+7)}6=\frac{\pi}{6}+2\pi k \] \[ 4x+7=1+12k,\qquad x=-\frac32+3k. \]

2. \[ \frac{\pi(4x+7)}6=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \] \[ 4x+7=-1+12k,\qquad x=-2+3k. \]

Наибольшие отрицательные корни в этих двух рядах: \[ -\frac32 \quad\text{и}\quad -2. \] Следовательно, наибольший отрицательный корень: \[ \boxed{-\frac32}. \]

Проверка: \[ \frac{\pi(4\cdot(-\frac32)+7)}6=\frac{\pi}{6}, \qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]