Реши задание на изображении

Краткий ответ

Для №571 все три равенства доказываются разложением векторов по трём взаимно перпендикулярным рёбрам параллелепипеда.

Обозначим: \[ \vec a=\overrightarrow{KL},\qquad \vec b=\overrightarrow{KN},\qquad \vec c=\overrightarrow{KK_1}. \] В прямоугольном параллелепипеде векторы \(\vec a,\vec b,\vec c\) попарно перпендикулярны.

Решение

Имеем: \[ \overrightarrow{MK}=-(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{MM_1}=\vec c. \]

а)

\[ \left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right| =|-\vec a-\vec b+\vec c|, \] \[ \left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right| =|-\vec a-\vec b-\vec c|. \]

Так как \(\vec c\perp(\vec a+\vec b)\), то по теореме Пифагора: \[ |-\vec a-\vec b+\vec c|^2 =|\vec a+\vec b|^2+|\vec c|^2, \] \[ |-\vec a-\vec b-\vec c|^2 =|\vec a+\vec b|^2+|\vec c|^2. \] Следовательно, \[ \boxed{\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right| =\left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|}. \]

б)

\[ \overrightarrow{K_1L_1}=\vec a, \qquad \overrightarrow{NL_1}=\vec a-\vec b+\vec c. \]

Поэтому \[ \overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1} =\vec a-(\vec a-\vec b+\vec c) =\vec b-\vec c. \]

Кроме того, \[ \overrightarrow{ML}=-\vec b, \qquad \overrightarrow{MM_1}=\vec c, \] значит, \[ \overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1} =-\vec b+\vec c=-(\vec b-\vec c). \]

Противоположные векторы имеют одинаковые длины, поэтому \[ \boxed{\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right| =\left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|}. \]

в)

\[ \overrightarrow{NL}=\vec a-\vec b, \qquad \overrightarrow{M_1L}=-\vec b-\vec c. \]

Тогда \[ \overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L} =(\vec a-\vec b)-(-\vec b-\vec c) =\vec a+\vec c. \]

Далее: \[ \overrightarrow{K_1N}=\vec b-\vec c, \qquad \overrightarrow{LN}=\vec b-\vec a. \]

Следовательно, \[ \overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN} =(\vec b-\vec c)-(\vec b-\vec a) =\vec a-\vec c. \]

Так как \(\vec a\perp\vec c\), то \[ |\vec a+\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec c|^2 =|\vec a-\vec c|^2. \] Значит, \[ \boxed{\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right| =\left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|}. \]

Принцип: если два вектора взаимно перпендикулярны, то длины их суммы и разности равны: \[ |\vec x+\vec y|=|\vec x-\vec y|. \]