Реши
Краткий ответ
\[ \vec a=\overrightarrow{AB}=(-7;\,6),\qquad |\vec a|=\sqrt{85} \]
\[ \vec b=\overrightarrow{BC}=(4;\,-3),\qquad |\vec b|=5 \]
\[ \vec c=\overrightarrow{AD}=(-9;\,-5),\qquad |\vec c|=\sqrt{106} \]
\[ \vec d=\vec a+\vec b=(-3;\,3) \]
\[ \vec e=-3\vec c=(27;\,15) \]
\[ \vec g=\vec a-\vec c=(2;\,11) \]
\[ k=\vec b\cdot\vec c=-21 \]
Решение
Для нахождения координат вектора из координат конца вычитаем координаты начала:
\[ \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P;\,y_Q-y_P). \]
1. Векторы \(\vec a,\vec b,\vec c\)
\[ \vec a=\overrightarrow{AB}=(-3-4;\,5-(-1))=(-7;\,6) \]
\[ \vec b=\overrightarrow{BC}=(1-(-3);\,2-5)=(4;\,-3) \]
\[ \vec c=\overrightarrow{AD}=(-5-4;\,-6-(-1))=(-9;\,-5) \]
Модуль вектора \((x;y)\) вычисляется по формуле:
\[ |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}. \]
Поэтому:
\[ |\vec a|=\sqrt{(-7)^2+6^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}, \]
\[ |\vec b|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=5, \]
\[ |\vec c|=\sqrt{(-9)^2+(-5)^2}=\sqrt{81+25}=\sqrt{106}. \]
2. Векторы \(\vec d,\vec e,\vec g\)
Действия выполняем отдельно с каждой координатой:
\[ \vec d=\vec a+\vec b=(-7+4;\,6+(-3))=(-3;\,3), \]
\[ \vec e=-3\vec c=(-3\cdot(-9);\, -3\cdot(-5))=(27;\,15), \]
\[ \vec g=\vec a-\vec c=(-7-(-9);\,6-(-5))=(2;\,11). \]
3. Скалярное произведение
\[ \vec b\cdot\vec c=x_bx_c+y_by_c. \]
\[ k=4\cdot(-9)+(-3)\cdot(-5)=-36+15=-21. \]
4. Построение
На координатной плоскости нужно отметить точки \(A,B,C,D\) и провести стрелки:
- \(\vec a\): из \(A\) в \(B\);
- \(\vec b\): из \(B\) в \(C\);
- \(\vec c\): из \(A\) в \(D\);
- \(\vec d\): из \(A\) в \(C\), поскольку
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. \]
Проверка:
\[ \overrightarrow{AC}=(1-4;\,2-(-1))=(-3;\,3)=\vec d. \]
