Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- \(R=8\)
- \(r=4\)
- Длина меньшей дуги \(AB\approx17\)
Решение
Площадь равностороннего треугольника:
\[ S=\frac{a^2\sqrt3}{4} \]
По условию \(S=48\sqrt3\), поэтому
\[ \frac{a^2\sqrt3}{4}=48\sqrt3 \]
Сократим на \(\sqrt3\):
\[ \frac{a^2}{4}=48,\qquad a^2=192,\qquad a=8\sqrt3. \]
1. Радиус описанной окружности
Для равностороннего треугольника:
\[ R=\frac{a}{\sqrt3} \]
\[ R=\frac{8\sqrt3}{\sqrt3}=8. \]
2. Радиус вписанной окружности
\[ r=\frac{a}{2\sqrt3} \]
\[ r=\frac{8\sqrt3}{2\sqrt3}=4. \]
3. Длина меньшей дуги \(AB\)
Три вершины равностороннего треугольника делят описанную окружность на три равные дуги, поэтому меньшей дуге \(AB\) соответствует угол
\[ \frac{360^\circ}{3}=120^\circ. \]
Длина дуги:
\[ l=2\pi R\cdot\frac{120^\circ}{360^\circ} =\frac{2\pi\cdot8}{3} =\frac{16\pi}{3}. \]
При \(\pi\approx3{,}14\):
\[ l\approx\frac{16\cdot3{,}14}{3} =\frac{50{,}24}{3}\approx16{,}75. \]
Округляем до целых:
\[ \boxed{17}. \]
В поля нужно ввести: \(\boxed{8;\ 4;\ 17}\).
