номер 64
Объяснение конечных нулей
Я изучаю конечные нули, которые появляются из пар 2 и 5, поскольку каждое 10 состоит из них. Двоек достаточно, но мне нужно посчитать пятёрки. Для 16! кратные 5 — это 5, 10 и 15, что в сумме даёт 3. Для 26! я проверяю кратные 5: это 5, 10, 15, 20 и 25, причём 25 даёт дополнительный множитель, что приводит к общему количеству 6. Интересно, нужно ли мне проверять количество двоек.
Ответ:
- \(3\) нуля;
- \(6\) нулей.
Последний нуль появляется при умножении на \(10=2\cdot5\). В факториалах множителей \(2\) больше, чем \(5\), поэтому считаем количество пятёрок.
Используем правило: \[ \left\lfloor\frac n5\right\rfloor+ \left\lfloor\frac n{25}\right\rfloor+\cdots \]
Для \(16!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot16\): \[ \left\lfloor\frac{16}{5}\right\rfloor=3. \] Пятёрки входят в числа \(5,10,15\), значит, \(16!\) оканчивается 3 нулями.
Для \(26!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot26\): \[ \left\lfloor\frac{26}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{26}{25}\right\rfloor =5+1=6. \] Дополнительная пятёрка учитывается в числе \(25=5^2\). Значит, \(26!\) оканчивается 6 нулями.
