реши задание 697 и подробно объясни

Краткий ответ

Функции записаны в порядке \(\sin,\ \cos,\ \tg\).

а) \(BC=8,\ AB=17\), \(AC=15\):

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac8{17},\quad \cos A=\frac{15}{17},\quad \tg A=\frac8{15};\\ &\sin B=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac8{17},\quad \tg B=\frac{15}{8}. \end{aligned} \]

б) \(BC=21,\ AC=20\), \(AB=29\):

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac{21}{29},\quad \cos A=\frac{20}{29},\quad \tg A=\frac{21}{20};\\ &\sin B=\frac{20}{29},\quad \cos B=\frac{21}{29},\quad \tg B=\frac{20}{21}. \end{aligned} \]

в) \(BC=1,\ AC=2\), \(AB=\sqrt5\):

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\quad \cos A=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\quad \tg A=\frac12;\\ &\sin B=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\quad \cos B=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\quad \tg B=2. \end{aligned} \]

г) \(AC=24,\ AB=25\), \(BC=7\):

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac7{25},\quad \cos A=\frac{24}{25},\quad \tg A=\frac7{24};\\ &\sin B=\frac{24}{25},\quad \cos B=\frac7{25},\quad \tg B=\frac{24}{7}. \end{aligned} \]

Объяснение

Так как \(\angle C=90^\circ\), сторона \(AB\) — гипотенуза.

Для угла \(A\):

• противоположный катет — \(BC\);
• прилежащий катет — \(AC\).

Поэтому

\[ \sin A=\frac{BC}{AB},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}. \]

Для угла \(B\):

• противоположный катет — \(AC\);
• прилежащий катет — \(BC\).

Поэтому

\[ \sin B=\frac{AC}{AB},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}. \]

а)

Сначала найдём неизвестный катет \(AC\) по теореме Пифагора:

\[ AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{17^2-8^2} =\sqrt{289-64} =\sqrt{225}=15. \]

Теперь подставляем стороны в формулы:

\[ \sin A=\frac8{17},\qquad \cos A=\frac{15}{17},\qquad \tg A=\frac8{15}; \]

\[ \sin B=\frac{15}{17},\qquad \cos B=\frac8{17},\qquad \tg B=\frac{15}{8}. \]

б)

Здесь известны оба катета, поэтому гипотенуза:

\[ AB=\sqrt{BC^2+AC^2} =\sqrt{21^2+20^2} =\sqrt{441+400} =\sqrt{841}=29. \]

Тогда

\[ \sin A=\frac{21}{29},\qquad \cos A=\frac{20}{29},\qquad \tg A=\frac{21}{20}; \]

\[ \sin B=\frac{20}{29},\qquad \cos B=\frac{21}{29},\qquad \tg B=\frac{20}{21}. \]

в)

Гипотенуза:

\[ AB=\sqrt{BC^2+AC^2} =\sqrt{1^2+2^2} =\sqrt5. \]

Следовательно,

\[ \sin A=\frac1{\sqrt5},\qquad \cos A=\frac2{\sqrt5},\qquad \tg A=\frac12; \]

\[ \sin B=\frac2{\sqrt5},\qquad \cos B=\frac1{\sqrt5},\qquad \tg B=2. \]

Если нужно избавиться от корня в знаменателе:

\[ \frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\qquad \frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}. \]

г)

Неизвестный катет \(BC\):

\[ BC=\sqrt{AB^2-AC^2} =\sqrt{25^2-24^2} =\sqrt{625-576} =\sqrt{49}=7. \]

Тогда

\[ \sin A=\frac7{25},\qquad \cos A=\frac{24}{25},\qquad \tg A=\frac7{24}; \]

\[ \sin B=\frac{24}{25},\qquad \cos B=\frac7{25},\qquad \tg B=\frac{24}{7}. \]

Проверка

Во всех случаях стороны образуют правильные прямоугольные треугольники:

\[ 8^2+15^2=17^2, \]

\[ 20^2+21^2=29^2, \]

\[ 1^2+2^2=(\sqrt5)^2, \]

\[ 7^2+24^2=25^2. \]

Также, поскольку углы \(A\) и \(B\) в сумме дают \(90^\circ\), выполняется:

\[ \sin A=\cos B,\qquad \cos A=\sin B,\qquad \tg A=\frac1{\tg B}. \]

Это совпадает со всеми найденными ответами.