11 задание
Чтение деталей изображения
Мне нужно внимательно прочитать изображение; похоже, я работаю с разрешением 1536×2048. Поскольку изображение перевёрнуто вверх ногами, я мысленно переверну его, чтобы лучше понять. Я хочу определить точные показатели и основания в разделе, где встречаются выражения вроде 9^7 : 9^10, (0.2)^2 : (0.2)^-2 и так далее. Для точного понимания содержания требуется сосредоточенный подход!
Вычисление частных степеней
Мне нужно дать краткий ответ, объясняющий, как вычислять степени с одинаковым основанием. При делении используется формула a^m : a^n = a^(m-n), которая работает и для отрицательных показателей. Затем можно выполнить вычисление: для 9^7 : 9^10 получаем 9^(7-10) = 9^-3. Это равно 1/9^3, то есть 1/729. Это должно ясно обобщить весь процесс!
Вычисление степеней числа 13
Я пытаюсь вычислить \(13^{14}\) и понять, пригодится ли это. Разберём по шагам:
квадрат 13 равен 169, куб — 2,197 и так далее, вплоть до \(13^{14}\), которое равно 3,937,376,385,699,289. Я также выяснил, что \(2^{14}\) равно 16,384. Похоже, я имею дело с довольно большими числами! В целом десятичная форма имеет значение, но, думаю, сейчас не нужно углубляться в это.
Краткий ответ:
- \(\dfrac{1}{729}\);
- \(\dfrac{1}{625}=0{,}0016\);
- \(\left(\dfrac{13}{2}\right)^{14}\);
- \(\dfrac{16}{625}\).
Правило
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:
\[ a^m:a^n=a^{m-n}. \]
Также используется свойство отрицательной степени:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Решение
\[ 9^7:9^{10}=9^{7-10}=9^{-3} =\frac{1}{9^3}=\frac{1}{729}. \]
\[ (0{,}2)^2:(0{,}2)^{-2} =(0{,}2)^{2-(-2)} =(0{,}2)^4. \]
Так как \(0{,}2=\dfrac15\), то
\[ (0{,}2)^4=\left(\frac15\right)^4 =\frac{1}{625}=0{,}0016. \]
- \[ \left(\frac{2}{13}\right)^{-12}: \left(\frac{2}{13}\right)^2 = \left(\frac{2}{13}\right)^{-12-2} = \left(\frac{2}{13}\right)^{-14}. \]
Отрицательная степень переворачивает дробь:
\[ \left(\frac{2}{13}\right)^{-14} = \left(\frac{13}{2}\right)^{14}. \]
- \[ \left(\frac25\right)^3: \left(\frac25\right)^{-1} = \left(\frac25\right)^{3-(-1)} = \left(\frac25\right)^4 = \frac{2^4}{5^4} = \frac{16}{625}. \]
Проверка: во всех примерах основания одинаковые, поэтому применено именно вычитание показателей.
