Боковые стороны трапеции 9 и 12, а основания 30 и 15. Найдите угол, который образуют продолжения боковых сторон трапеции

Ответ: \(\boxed{90^\circ}\).

Пусть большее основание \(AB=30\), меньшее \(CD=15\), а боковые стороны равны \(9\) и \(12\). Продолжим боковые стороны до пересечения в точке \(P\).

Так как \(AB\parallel CD\), треугольники \(PAB\) и \(PCD\) подобны. Коэффициент подобия:

\[ \frac{CD}{AB}=\frac{15}{30}=\frac12. \]

Значит, боковые стороны большого треугольника в два раза длиннее боковых сторон трапеции:

\[ PA=2\cdot 9=18,\qquad PB=2\cdot 12=24. \]

В треугольнике \(PAB\):

\[ PA^2+PB^2=18^2+24^2=324+576=900=30^2=AB^2. \]

По обратной теореме Пифагора треугольник \(PAB\) прямоугольный, поэтому угол между продолжениями боковых сторон равен

\[ \boxed{90^\circ}. \]