Вот конкретное неравенство: ... 1 номер

Неравенства: главное

Решить неравенство — значит найти все значения \(x\), при которых оно верно.

Используют знаки:

\[ <,\quad >,\quad \le,\quad \ge \]

Например, \(x\le 4\) означает: \(x\) может быть равен \(4\) или любому числу меньше \(4\).

---

1. Основные правила

Можно:

• прибавлять или вычитать одно и то же число из обеих частей;
• умножать или делить обе части на положительное число — знак не меняется;
• умножать или делить обе части на отрицательное число — знак меняется на противоположный.

Пример

\[ 3x-5\le 7 \]

Прибавим \(5\):

\[ 3x\le 12 \]

Делим на положительное число \(3\):

\[ x\le 4 \]

Ответ:

\[ x\in(-\infty;4] \]

Квадратная скобка означает, что число \(4\) входит в ответ.

---

Важный пример со сменой знака

\[ -2x>6 \]

Делим на \(-2\), поэтому знак меняется:

\[ x<-3 \]

Ответ:

\[ x\in(-\infty;-3) \]

---

2. Двойные неравенства

Решаем сразу все части:

\[ 2<3x+1\le 10 \]

Вычтем \(1\):

\[ 1<3x\le 9 \]

Разделим на \(3\):

\[ \frac13<x\le 3 \]

Ответ:

\[ x\in\left(\frac13;3\right] \]

---

3. Квадратные неравенства

Общий вид:

\[ ax^2+bx+c>0 \]

Алгоритм

1. Перенести всё в одну сторону.
2. Найти корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
3. Отметить корни на числовой прямой.
4. Определить знаки на промежутках.
5. Выбрать нужные промежутки.

Пример

\[ x^2-5x+6>0 \]

Разложим на множители:

\[ (x-2)(x-3)>0 \]

Корни: \(2\) и \(3\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, выражение положительно вне корней:

\[ x<2 \quad \text{или} \quad x>3 \]

Ответ:

\[ x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty) \]

Знак \(\cup\) означает «объединение», то есть «или».

Если было бы

\[ (x-2)(x-3)\le 0, \]

то ответ:

\[ x\in[2;3], \]

потому что при знаках \(\le\) и \(\ge\) корни включаются.

---

4. Система неравенств

У системы должно выполняться каждое неравенство одновременно.

\[ \begin{cases} x>1,\\ x\le 4 \end{cases} \]

Общая часть решений:

\[ 1<x\le 4 \]

Ответ:

\[ x\in(1;4] \]

---

5. Неравенства с дробями

В дробно-рациональных неравенствах знаменатель не может быть равен нулю.

Например:

\[ \frac{x-2}{x+1}>0 \]

Критические точки:

\[ x=2,\qquad x=-1. \]

Точка \(x=-1\) обязательно исключается, потому что знаменатель равен нулю. Затем расставляют знаки на промежутках и выбирают те, где дробь положительна.

---

Что чаще всего забывают

1. При делении на отрицательное число знак нужно перевернуть: \[ -x<3 \quad\Rightarrow\quad x>-3. \]

2. В строгих неравенствах \(<\) и \(>\) корни не включаются.

3. В нестрогих неравенствах \(\le\) и \(\ge\) корни включаются.

4. Ноль в знаменателе запрещён.

5. В системе берётся пересечение решений, а при слове «или» — объединение.

Пришли само неравенство из № 1 — разберём его по этим шагам.

На координатной прямой числа увеличиваются слева направо.

Обозначение конца промежутка

• Пустая точка \( \circ \) — число не входит в решение: знаки \(<\) или \(>\).
• Закрашенная точка \( \bullet \) — число входит в решение: знаки \(\le\) или \(\ge\).

Направление штриховки

Неравенство	На прямой	Интервал
\(x>a\)	пустая точка в \(a\), штриховка вправо	\((a;+\infty)\)
\(x\ge a\)	закрашенная точка в \(a\), штриховка вправо	\([a;+\infty)\)
\(x<a\)	пустая точка в \(a\), штриховка влево	\((-\infty;a)\)
\(x\le a\)	закрашенная точка в \(a\), штриховка влево	\((-\infty;a]\)

Примеры

\[ x>2 \]

Точка \(2\) пустая, штриховка вправо:

\[ \leftarrow\!\!-\!\!-\!\!\circ\!\!-\!\!-\!\!\rightarrow \] \[ \hspace{45mm}2 \]

Ответ:

\[ x\in(2;+\infty) \]

---

\[ x\le -1 \]

Точка \(-1\) закрашенная, штриховка влево:

\[ \leftarrow\!\!-\!\!-\!\!\bullet\!\!-\!\!-\!\!\rightarrow \] \[ \hspace{18mm}-1 \]

Ответ:

\[ x\in(-\infty;-1] \]

---

Для двойного неравенства

\[ -2<x\le 3 \]

в точке \(-2\) ставим пустую точку, в точке \(3\) — закрашенную, а промежуток между ними выделяем:

\[ x\in(-2;3]. \]

У бесконечности скобка всегда круглая: \((-\infty; a)\) или \((a;+\infty)\).

Нет. Минус перед числом не влияет на закрашенность точки — он только показывает, что число отрицательное.

В записи

\[ (-2;7) \]

круглые скобки означают, что обе точки пустые:

• точка \(-2\) — пустая;
• точка \(7\) — пустая;
• выделяется промежуток между ними.

\[ -2\ \circ\!\! \rule{25mm}{0.2mm}\!\! \circ\ 7 \]

Числа \(-2\) и \(7\) в решение не входят.

Для сравнения:

\[ [-2;7] \]

— обе точки закрашенные;

\[ [-2;7) \]

— \(-2\) закрашенная, а \(7\) пустая.

Если в промежутке есть бесконечность и ноль, то:

• бесконечность никогда не отмечают точкой и скобка около неё всегда круглая;
• ноль обозначают как обычное число: точка пустая или закрашенная зависит от скобки.

Примеры

\[ (-\infty;0) \]

Ноль — пустая точка, выделяем всё левее нуля:

\[ \leftarrow\!\!-\!\!-\!\!\circ 0 \]

---

\[ (-\infty;0] \]

Ноль — закрашенная точка, выделяем всё левее нуля:

\[ \leftarrow\!\!-\!\!-\!\!\bullet 0 \]

---

\[ (0;+\infty) \]

Ноль — пустая точка, выделяем всё правее нуля:

\[ 0\circ\!\!-\!\!-\!\!\rightarrow \]

---

\[ [0;+\infty) \]

Ноль — закрашенная точка, выделяем всё правее нуля:

\[ 0\bullet\!\!-\!\!-\!\!\rightarrow \]

Итак: у нуля точка зависит от скобки, а у бесконечности точки вообще нет.

Если записано

\[ (-\infty;+\infty), \]

то это все действительные числа. На координатной прямой выделяют всю прямую:

\[ \leftarrow\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!-\!\!\rightarrow \]

Точки у \(-\infty\) и \(+\infty\) не ставят, потому что бесконечность — не число. Скобки около бесконечности всегда круглые.

Запись

\[ [-\infty;+\infty] \]

не используется.