Решение и ответ

Краткий ответ

1. \(0,(6)=\dfrac{2}{3}\);
2. \(1,(55)=\dfrac{14}{9}\);
3. \(0,1(2)=\dfrac{11}{90}\);
4. \(-0,(8)=-\dfrac{8}{9}\);
5. \(-3,(27)=-\dfrac{36}{11}\);
6. \(-2,3(82)=-\dfrac{2359}{990}\).

Решение

Чтобы превратить периодическую дробь в обыкновенную, обозначим её через \(x\), умножим на \(10\), \(100\), \(1000\) и вычтем равенства так, чтобы периодическая часть сократилась.

1. \[ x=0,(6)=0,666\ldots \] \[ 10x=6,666\ldots \] \[ 10x-x=6 \] \[ 9x=6,\qquad x=\frac{6}{9}=\frac23. \]

2. \[ x=1,(55)=1,555\ldots \] \[ 100x=155,555\ldots \] \[ 100x-x=154 \] \[ 99x=154,\qquad x=\frac{154}{99}=\frac{14}{9}. \]

3. \[ x=0,1(2)=0,1222\ldots \] \[ 10x=1,222\ldots,\qquad 100x=12,222\ldots \] \[ 100x-10x=11 \] \[ 90x=11,\qquad x=\frac{11}{90}. \]

4. \[ -0,(8)=-\frac{8}{9}. \]

5. \[ x=3,(27)=3,2727\ldots \] \[ 100x=327,2727\ldots \] \[ 100x-x=324 \] \[ 99x=324,\qquad x=\frac{324}{99}=\frac{36}{11}. \] Следовательно, \[ -3,(27)=-\frac{36}{11}. \]

6. \[ x=2,3(82)=2,382828\ldots \] \[ 1000x=2382,828282\ldots \] \[ 10x=23,828282\ldots \] \[ 1000x-10x=2359 \] \[ 990x=2359,\qquad x=\frac{2359}{990}. \] Следовательно, \[ -2,3(82)=-\frac{2359}{990}. \]

Проверка, например: \[ \frac{11}{90}=0,1222\ldots=0,1(2), \] значит результат верен.