Сделай 3

Краткий ответ: если две высоты параллелограмма, проведённые из одной вершины, равны, то его соседние стороны равны. Значит, параллелограмм — ромб.

Доказательство

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм. Из вершины \(A\) проведены высоты:

• \(h_1\) к стороне \(BC\);
• \(h_2\) к стороне \(CD\).

По условию:

\[ h_1=h_2. \]

Площадь параллелограмма можно найти двумя способами:

\[ S=BC\cdot h_1, \]

\[ S=CD\cdot h_2. \]

Так как площади одинаковы и высоты равны, то

\[ BC\cdot h_1=CD\cdot h_2 \quad\Rightarrow\quad BC=CD. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ AB=CD,\qquad AD=BC. \]

Следовательно,

\[ AB=BC=CD=AD. \]

Все стороны параллелограмма равны, значит, \(ABCD\) — ромб. ∎