Реши задание 364 по геометрии 8 класс, с дано, с рисунками и пояснением

На фото указано задание №464, поэтому решаю его.

Краткий ответ

а) \(5\) диагоналей;
б) \(54\) диагонали;
в) \(209\) диагоналей.

Дано

• \(n_1=5\) — выпуклый пятиугольник;
• \(n_2=12\) — выпуклый двенадцатиугольник;
• \(n_3=22\) — выпуклый двадцатидвухугольник.

Найти: количество диагоналей.

Рисунок и правило

Например, в пятиугольнике \(ABCDE\):

              A
           /     \
          E       B
          |       |
          D-------C

Из одной вершины нельзя провести диагональ:

• в саму себя;
• в две соседние вершины, так как это стороны многоугольника.

Значит, из каждой вершины \(n\)-угольника можно провести:

\[ n-3 \]

диагонали.

Но при таком подсчёте каждая диагональ учитывается дважды — из каждой из её вершин. Поэтому:

\[ d=\frac{n(n-3)}{2}, \]

где \(d\) — число диагоналей.

Решение

а) Пятиугольник

\[ d=\frac{5(5-3)}{2} =\frac{5\cdot2}{2} =5. \]

б) Двенадцатиугольник

\[ d=\frac{12(12-3)}{2} =\frac{12\cdot9}{2} =54. \]

в) Двадцатидвухугольник

\[ d=\frac{22(22-3)}{2} =\frac{22\cdot19}{2} =11\cdot19 =209. \]

Ответ

\[ \boxed{\text{а) }5;\qquad \text{б) }54;\qquad \text{в) }209.} \]

Проверка

Можно посчитать так: из всех отрезков, соединяющих пары вершин, вычесть стороны:

\[ \binom n2-n=\frac{n(n-1)}2-n =\frac{n(n-3)}2. \]

Получается та же формула, значит результат верный.