Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\sqrt{10}\);
2. \(3\);
3. \(2+\sqrt3\).

Используем формулу: \[ (\sqrt a\pm\sqrt b)^2=a+b\pm2\sqrt{ab}, \qquad \sqrt{x^2}=|x|. \]

1)

\[ 7-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2. \] Так как \(\sqrt5>\sqrt2\), то \[ \sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt5-\sqrt2. \] Тогда \[ \sqrt{(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt2)\cdot2\sqrt5} =\sqrt{(\sqrt5-\sqrt2+\sqrt2)\cdot2\sqrt5} \] \[ =\sqrt{\sqrt5\cdot2\sqrt5} =\sqrt{10}. \]

2)

\[ 16-6\sqrt7=(3-\sqrt7)^2, \] поэтому \[ \sqrt{16-6\sqrt7}=3-\sqrt7. \] Следовательно, \[ \sqrt{(\sqrt{16-6\sqrt7}+\sqrt7)\cdot3} =\sqrt{(3-\sqrt7+\sqrt7)\cdot3} \] \[ =\sqrt9=3. \]

3)

\[ 8+2\sqrt{15}=(\sqrt5+\sqrt3)^2, \qquad 8-2\sqrt{15}=(\sqrt5-\sqrt3)^2. \] Значит, \[ \sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt5+\sqrt3, \] \[ \sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt5-\sqrt3. \] Тогда \[ \sqrt{(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}})\cdot2+7} \] \[ =\sqrt{\bigl((\sqrt5+\sqrt3)-(\sqrt5-\sqrt3)\bigr)\cdot2+7} \] \[ =\sqrt{2\sqrt3\cdot2+7} =\sqrt{7+4\sqrt3}. \] Так как \[ 7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2, \] получаем \[ \sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3. \]