Помоги пожалуйста решить 4 и 5 задания и объясни как их решать

Задание 4

Для решения используем обозначения:

• \(\mathbb N\) — множество натуральных чисел: \[ 1,2,3,4,\ldots \]
• \(\mathbb Z\) — множество целых чисел: \[ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \]
• \(\mathbb Q\) — множество рациональных чисел, то есть чисел, которые можно представить в виде дроби \[ \frac{m}{n},\qquad m\in\mathbb Z,\ n\ne0. \]
• \(\mathbb R\) — множество действительных чисел.

Множества вложены друг в друга:

\[ \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R. \]

а) \(x\in\mathbb Z,\ x\notin\mathbb N\)

Нужно подобрать числа, которые являются целыми, но не являются натуральными.

К целым, но не натуральным, относятся отрицательные целые числа и число \(0\), если натуральные числа начинаются с \(1\).

Например:

\[ \boxed{x=-1,\quad x=-2} \]

Проверка:

• \(-1\) и \(-2\) — целые числа;
• отрицательные числа не являются натуральными.

Ответ:

\[ \boxed{-1;\ -2} \]

---

б) \(x\in\mathbb Q,\ x\notin\mathbb Z\)

Нужно подобрать числа, которые являются рациональными, но не являются целыми.

Рациональными будут любые конечные или периодические десятичные дроби, а также обыкновенные дроби с ненулевым знаменателем. Чтобы число не было целым, его дробная часть не должна исчезать.

Например:

\[ \boxed{x=\frac12,\quad x=-\frac34} \]

Проверка:

\[ \frac12=0{,}5,\qquad -\frac34=-0{,}75. \]

Оба числа можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, значит, они рациональные. Но ни \(0{,}5\), ни \(-0{,}75\) не являются целыми числами.

Ответ:

\[ \boxed{\frac12;\ -\frac34} \]

---

в) \(x\in\mathbb Q,\ x\notin\mathbb N\)

Нужно подобрать рациональные числа, которые не являются натуральными.

Подойдут, например, дробь и отрицательное целое число:

\[ \boxed{x=\frac12,\quad x=-1} \]

Проверка:

• \(\frac12\) — рациональное число, но не натуральное;
• \(-1\) — целое, следовательно, рациональное число, но отрицательные числа не являются натуральными.

Ответ:

\[ \boxed{\frac12;\ -1} \]

Обратите внимание: в этом пункте нельзя брать только положительные целые числа \(1,2,3,\ldots\), потому что они являются натуральными.

---

Задание 5

Нужно определить, к каким числовым множествам относится каждое число.

Используем цепочку:

\[ \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R. \]

Это означает:

• каждое натуральное число является целым;
• каждое целое число является рациональным;
• каждое рациональное число является действительным.

1. Число \(6\)

Число \(6\) является натуральным:

\[ 6\in\mathbb N. \]

Так как любое натуральное число является целым, рациональным и действительным, то:

\[ 6\in\mathbb Z,\qquad 6\in\mathbb Q,\qquad 6\in\mathbb R. \]

Рациональность можно показать так:

\[ 6=\frac61. \]

Следовательно,

\[ \boxed{6\in\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R}. \]

---

2. Число \(-1{,}98\)

Число \(-1{,}98\) является конечной десятичной дробью. Его можно представить в виде обыкновенной дроби:

\[ -1{,}98=-\frac{198}{100}=-\frac{99}{50}. \]

Значит, число \(-1{,}98\) рациональное:

\[ -1{,}98\in\mathbb Q. \]

Все рациональные числа являются действительными, поэтому:

\[ -1{,}98\in\mathbb R. \]

Но это число не является целым, так как у него есть ненулевая дробная часть. Поэтому оно не принадлежит \(\mathbb Z\) и, следовательно, не принадлежит \(\mathbb N\).

Ответ:

\[ \boxed{-1{,}98\in\mathbb Q,\mathbb R}. \]

---

3. Число \(0{,}5(87)\)

Запись

\[ 0{,}5(87) \]

означает периодическую десятичную дробь:

\[ 0{,}5(87)=0{,}5878787878\ldots \]

Всякая периодическая десятичная дробь является рациональным числом.

Это число можно представить в виде обыкновенной дроби:

\[ 0{,}5(87)=\frac{97}{165}. \]

Значит,

\[ 0{,}5(87)\in\mathbb Q. \]

Так как любое рациональное число является действительным, то:

\[ 0{,}5(87)\in\mathbb R. \]

Число не является целым и натуральным, потому что имеет дробную часть.

Ответ:

\[ \boxed{0{,}5(87)\in\mathbb Q,\mathbb R}. \]

---

4. Число \(\pi\)

Число \(\pi\) — это иррациональное число. Оно не может быть представлено в виде дроби

\[ \frac mn, \]

где \(m\) и \(n\) — целые числа, а \(n\ne0\).

Поэтому:

\[ \pi\notin\mathbb Q. \]

Но иррациональные числа входят в множество действительных чисел. Следовательно:

\[ \pi\in\mathbb R. \]

Число \(\pi\) также не является целым и натуральным.

Ответ:

\[ \boxed{\pi\in\mathbb R}. \]

---

Итоговая таблица

Число	\(\mathbb N\)	\(\mathbb Z\)	\(\mathbb Q\)	\(\mathbb R\)
\(6\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(-1{,}98\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(0{,}5(87)\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
\(\pi\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)

Ответ к заданию 5:

\[ \boxed{6\in\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R;} \]

\[ \boxed{-1{,}98\in\mathbb Q,\mathbb R;} \]

\[ \boxed{0{,}5(87)\in\mathbb Q,\mathbb R;} \]

\[ \boxed{\pi\in\mathbb R.} \]