Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ AA_1=11, \qquad V=231, \qquad d=AC_1=\sqrt{179}, \]

\[ \sin\angle C_1AC=\frac{11}{\sqrt{179}}, \qquad \cos\angle AB_1C=\frac{121}{10\sqrt{221}}. \]

Все длины даны в условных единицах, объём — в кубических единицах.

1. Найдём высоту параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:

\[ S_{\text{бок}}=2(AD+AB)\cdot AA_1. \]

Подставим данные:

\[ 220=2(7+3)\cdot AA_1, \]

\[ AA_1=\frac{220}{20}=11. \]

2. Объём

\[ V=AD\cdot AB\cdot AA_1 =7\cdot3\cdot11 =231. \]

3. Пространственная диагональ

Сначала диагональ основания:

\[ AC=\sqrt{AD^2+AB^2} =\sqrt{7^2+3^2} =\sqrt{58}. \]

Тогда

\[ d=AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} =\sqrt{58+11^2} =\sqrt{179}. \]

4. Синус угла \(\angle C_1AC\)

Треугольник \(ACC_1\) прямоугольный, поэтому

\[ \sin\angle C_1AC =\frac{CC_1}{AC_1} =\frac{11}{\sqrt{179}}. \]

5. Косинус угла \(\angle AB_1C\)

Найдём стороны треугольника \(AB_1C\):

\[ AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{3^2+11^2}=\sqrt{130}, \]

\[ B_1C=\sqrt{BC^2+BB_1^2}=\sqrt{7^2+11^2}=\sqrt{170}, \]

\[ AC=\sqrt{58}. \]

По теореме косинусов:

\[ \cos\angle AB_1C =\frac{AB_1^2+B_1C^2-AC^2}{2AB_1\cdot B_1C} \]

\[ =\frac{130+170-58}{2\sqrt{130}\sqrt{170}} =\frac{121}{10\sqrt{221}}. \]

Проверка высоты:

\[ 2(7+3)\cdot11=220, \]

что совпадает с данной площадью боковой поверхности.