Реши задание на изображении

Краткий ответ

3. а) \(5\) треугольников; б) \(900^\circ\).
4. а) \(1620^\circ\); б) \(3600^\circ\).
5. а) \(n=8\); б) \(n=12\).

Решение

3. Семиугольник

Обозначим вершины семиугольника \(A,B,C,D,E,F,G\). Из вершины \(A\) можно провести диагонали \(AC, AD, AE, AF\). Они разделят семиугольник на \(7-2=5\) треугольников.

а) \(5\) треугольников.

Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника:

\[ S_n=180^\circ(n-2). \]

Для семиугольника:

\[ S_7=180^\circ(7-2)=180^\circ\cdot5=900^\circ. \]

б) \(900^\circ\).

4. Сумма углов многоугольников

а) Одиннадцатиугольник:

\[ S_{11}=180^\circ(11-2)=180^\circ\cdot9=1620^\circ. \]

б) Двадцатидвухугольник:

\[ S_{22}=180^\circ(22-2)=180^\circ\cdot20=3600^\circ. \]

5. Число сторон многоугольника

Если каждый угол равен \(\alpha\), то сумма всех углов равна \(\alpha n\). Поэтому:

\[ \alpha n=180^\circ(n-2). \]

а) При \(\alpha=135^\circ\):

\[ 135^\circ n=180^\circ(n-2), \]

\[ 135n=180n-360, \]

\[ 45n=360,\qquad n=8. \]

б) При \(\alpha=150^\circ\):

\[ 150^\circ n=180^\circ(n-2), \]

\[ 150n=180n-360, \]

\[ 30n=360,\qquad n=12. \]

Проверка: \(12\cdot150^\circ=1800^\circ\), а \((12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ\). Ответ верен.