сделай 2 задание

Ответ: все пары выражений тождественно равны на их ОДЗ:

1. \(\displaystyle \frac1{6x+10}-\frac1{9x-15}+\frac5{9x^2-25}=\frac1{6(3x-5)}\);
2. \(\displaystyle \frac1{2x-8}+\frac1{40-10x}+\frac1{x^2-8x+16}=\frac{2x-3}{5(x-4)^2}\);
3. \(\displaystyle \frac1{x-2}+\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}=\frac{2x-4}{x^2+2x+4}\);
4. \(\displaystyle \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac1{a-1}=\frac3{a-1}\).

Главный принцип: разложить знаменатели на множители, привести дроби к общему знаменателю и сократить общий множитель.

---

1)

Разложим знаменатели:

\[ 6x+10=2(3x+5), \]

\[ 9x-15=3(3x-5), \]

\[ 9x^2-25=(3x-5)(3x+5). \]

Приведём к общему знаменателю \(6(3x-5)(3x+5)\):

\[ \frac1{2(3x+5)}-\frac1{3(3x-5)} +\frac5{(3x-5)(3x+5)} \]

\[ =\frac{3(3x-5)-2(3x+5)+30} {6(3x-5)(3x+5)}. \]

Упростим числитель:

\[ 3(3x-5)-2(3x+5)+30 =9x-15-6x-10+30=3x+5. \]

Тогда

\[ \frac{3x+5}{6(3x-5)(3x+5)} =\frac1{6(3x-5)}. \]

Что и требовалось доказать.

---

2)

Разложим знаменатели:

\[ 2x-8=2(x-4), \]

\[ 40-10x=-10(x-4), \]

\[ x^2-8x+16=(x-4)^2. \]

Получаем:

\[ \frac1{2(x-4)}-\frac1{10(x-4)}+\frac1{(x-4)^2}. \]

Первые две дроби:

\[ \frac1{2(x-4)}-\frac1{10(x-4)} =\frac5{10(x-4)}-\frac1{10(x-4)} =\frac2{5(x-4)}. \]

Теперь приводим к знаменателю \(5(x-4)^2\):

\[ \frac2{5(x-4)}+\frac1{(x-4)^2} = \frac{2(x-4)+5}{5(x-4)^2}. \]

\[ \frac{2x-8+5}{5(x-4)^2} =\frac{2x-3}{5(x-4)^2}. \]

---

3)

Используем формулу разности кубов:

\[ x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4). \]

Общий знаменатель:

\[ (x-2)(x^2+2x+4). \]

Тогда

\[ \frac1{x-2}+\frac{x-2}{x^2+2x+4} -\frac{6x}{x^3-8} \]

\[ = \frac{x^2+2x+4+(x-2)^2-6x} {(x-2)(x^2+2x+4)}. \]

Упростим числитель:

\[ x^2+2x+4+(x^2-4x+4)-6x =2x^2-8x+8. \]

Вынесем общий множитель:

\[ 2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2. \]

Значит,

\[ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{2x-4}{x^2+2x+4}. \]

---

4)

Разложим разность кубов:

\[ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). \]

Приводим все дроби к знаменателю \((a-1)(a^2+a+1)\):

\[ \frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} -\frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} -\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}. \]

Объединим числители:

\[ \frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-(a^2+a+1)} {(a-1)(a^2+a+1)}. \]

Раскроем скобки:

\[ (1-2a)(a-1)=-2a^2+3a-1. \]

Тогда числитель равен:

\[ 2a^2+7a+3-(-2a^2+3a-1)-(a^2+a+1) \]

\[ =2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-a^2-a-1 \]

\[ =3a^2+3a+3=3(a^2+a+1). \]

Сокращаем:

\[ \frac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} =\frac3{a-1}. \]

Проверка: во всех четырёх пунктах после преобразований получились именно выражения, стоящие справа.