20 и 21
Краткий ответ
20.
а) при \(b=0\), минимум дроби равен \(\frac13\);
б) при \(b=2\), минимум дроби равен \(2\).
21.
а) неверно;
б) верно;
в) неверно.
Решение
20
Используем свойство: квадрат любого числа неотрицателен.
а)
\[ \frac{b^2+7}{21} \]
Так как \(b^2\ge 0\), наименьший числитель будет при \(b=0\):
\[ \frac{0+7}{21}=\frac{7}{21}=\frac13. \]
Ответ: \(b=0\).
б)
\[ \frac{(b-2)^2+16}{8} \]
Квадрат \((b-2)^2\) минимален и равен нулю при
\[ b-2=0 \quad\Rightarrow\quad b=2. \]
Тогда
\[ \frac{0+16}{8}=2. \]
Ответ: \(b=2\).
21
Преобразуем знаменатель:
\[ 4x^2+9+y^2+4xy=(2x+y)^2+9. \]
Так как \((2x+y)^2\ge 0\), знаменатель не меньше \(9\):
\[ (2x+y)^2+9\ge 9. \]
Следовательно,
\[ 0<\frac{18}{(2x+y)^2+9}\le \frac{18}{9}=2. \]
Максимум \(2\) достигается, когда
\[ 2x+y=0. \]
Поэтому:
- а) максимум равен \(1\) — неверно, максимум равен \(2\);
- б) максимум равен \(2\) — верно;
- в) минимум равен \(2\) — неверно. Дробь может приближаться к нулю, но нулю не равна, поэтому наименьшего значения нет.
Обсуждение
3 сообщенияпросто как это записать в тетрадь
Запиши в тетрадь так:
20
а)
\[ \frac{b^2+7}{21} \]
Так как \(b^2\ge 0\), то
\[ b^2+7\ge 7. \]
Следовательно,
\[ \frac{b^2+7}{21}\ge \frac{7}{21}=\frac13. \]
Равенство достигается при \(b=0\).
Ответ: \(\min \frac{b^2+7}{21}=\frac13\) при \(b=0\).
б)
\[ \frac{(b-2)^2+16}{8} \]
Так как \((b-2)^2\ge 0\), то
\[ (b-2)^2+16\ge 16. \]
Следовательно,
\[ \frac{(b-2)^2+16}{8}\ge \frac{16}{8}=2. \]
Равенство достигается при \(b=2\).
Ответ: \(\min \frac{(b-2)^2+16}{8}=2\) при \(b=2\).
21
\[ 4x^2+4xy+y^2+9=(2x+y)^2+9\ge 9. \]
Поэтому
\[ 0<\frac{18}{4x^2+4xy+y^2+9}\le \frac{18}{9}=2. \]
Максимум равен \(2\) при \(2x+y=0\).
Ответ:
а) неверно;
б) верно;
в) неверно.
18
