18

Задание 18

Используем свойства: квадрат любого числа неотрицателен, то есть \(t^2\ge 0\).

а)
\[ \frac{3}{x^2+1} \] Так как \(x^2\ge0\), то \(x^2+1>0\). Числитель \(3>0\), значит \[ \frac{3}{x^2+1}>0. \] Дробь положительна.

б)
\[ \frac{-5}{y^2+4} \] Так как \(y^2\ge0\), то \(y^2+4>0\). Числитель отрицателен, поэтому \[ \frac{-5}{y^2+4}<0. \] Дробь отрицательна.

в)
\[ \frac{(a-1)^2}{a^2+10} \] Имеем \[ (a-1)^2\ge0,\qquad a^2+10>0. \] Следовательно, \[ \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge0. \] Дробь неотрицательна. Она равна нулю при \(a=1\).

г)
\[ \frac{(b-3)^2}{-b^2-1} \] Числитель: \[ (b-3)^2\ge0. \] Знаменатель: \[ -b^2-1=-(b^2+1)<0. \] Поэтому \[ \frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le0. \] Дробь неположительна. Она равна нулю при \(b=3\).

№ 18

а) \(x^2+1>0,\; 3>0\), поэтому
\[ \frac{3}{x^2+1}>0. \] Дробь положительная.

б) \(y^2+4>0,\; -5<0\), поэтому
\[ \frac{-5}{y^2+4}<0. \] Дробь отрицательная.

в) \((a-1)^2\ge 0,\; a^2+10>0\), поэтому
\[ \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge 0. \] Дробь неотрицательная.

г) \((b-3)^2\ge 0,\; -b^2-1<0\), поэтому
\[ \frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le 0. \] Дробь неположительная.

Ответ: а) \(>0\); б) \(<0\); в) \(\ge0\); г) \(\le0\).