Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Найдём два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6. \]
Сгруппируем слагаемые:
\[ x(x-2)-3(x-2)=0, \]
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=2 \text{ или } x=3}. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня верны.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Новый \(x\) не появился — он уже был в выражении. Мы вынесли общий множитель за скобки.
После разложения среднего члена получили:
\[ x^2-2x-3x+6. \]
Разобьём выражение на две пары:
\[ (x^2-2x)+(-3x+6). \]
Первая пара
В обоих слагаемых есть общий множитель \(x\):
\[ x^2-2x=x\cdot x-x\cdot2=x(x-2). \]
Вторая пара
Здесь удобно вынести общий множитель \(-3\):
\[ -3x+6=(-3)\cdot x+(-3)\cdot(-2)=-3(x-2). \]
Поэтому:
\[ x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2). \]
Теперь в обоих слагаемых есть общая скобка \((x-2)\):
\[ x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]
Итак, уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
