номер 1099
Краткий ответ
| Угол | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) |
|---|---|---|---|
| \(\angle AOM_1=90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | не определён |
| \(\angle AOM_2=60^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(\sqrt3\) |
| \(\angle AOM_3=45^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(\angle AOM_4=30^\circ\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
| \(\angle AOB=180^\circ\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
1. Проверим принадлежность единичной полуокружности
Уравнение единичной окружности:
\[ x^2+y^2=1. \]
Для верхней полуокружности дополнительно \(y\ge 0\).
\[ \begin{aligned} M_1:&\quad 0^2+1^2=1;\\ M_2:&\quad \left(\frac12\right)^2+ \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac14+\frac34=1;\\ M_3:&\quad \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\frac12+\frac12=1;\\ M_4:&\quad \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+ \left(\frac12\right)^2 =\frac34+\frac14=1;\\ A:&\quad 1^2+0^2=1;\\ B:&\quad (-1)^2+0^2=1. \end{aligned} \]
У всех точек \(y\ge0\), поэтому они лежат на верхней единичной полуокружности.
2. Как получаются значения
Для точки \(M(x;y)\) единичной окружности:
\[ \cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y,\qquad \tg\alpha=\frac{y}{x}\quad (x\ne0). \]
По координатам точек:
- \(M_1(0;1)\) соответствует углу \(90^\circ\);
- \(M_2\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)\) — углу \(60^\circ\);
- \(M_3\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\) — углу \(45^\circ\);
- \(M_4\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\) — углу \(30^\circ\);
- \(B(-1;0)\) — углу \(180^\circ\).
Например, для \(M_4\):
\[ \sin\angle AOM_4=\frac12,\qquad \cos\angle AOM_4=\frac{\sqrt3}{2}, \]
\[ \tg\angle AOM_4= \frac{\sin\angle AOM_4}{\cos\angle AOM_4} = \frac{1/2}{\sqrt3/2} =\frac1{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}. \]
Проверка: во всех случаях выполняется
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
