Реши мне задачу

471

а)

Рассмотрим диагональ \(AC\).

По условию: \[ \angle BAC=\angle ACD. \] Это накрест лежащие углы при пересечении прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\). Значит, \[ AB\parallel CD. \]

Также: \[ \angle BCA=\angle DAC. \] Следовательно, \[ BC\parallel AD. \]

У выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

б)

Дано: \[ AB\parallel CD,\qquad \angle A=\angle C. \]

Так как \(AB\parallel CD\), то внутренние односторонние углы при секущей \(AD\) supplementary: \[ \angle A+\angle D=180^\circ. \]

Поскольку \(\angle A=\angle C\), получаем: \[ \angle C+\angle D=180^\circ. \]

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\): \[ \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ. \]

Так как \(\angle C+\angle D=180^\circ\), то: \[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]

Углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Поэтому: \[ AD\parallel BC. \]

Итак, обе пары противоположных сторон параллельны: \[ AB\parallel CD,\qquad AD\parallel BC. \]

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.