Что такое действительные числа

Краткий ответ: действительные числа — это все числа, которые можно отметить точками на числовой прямой. Обозначают множество действительных чисел так: \(\mathbb R\).

К действительным числам относятся:

1. Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби
   \[ \frac{m}{n}, \quad n\ne 0. \] Примеры:
   \[ 5,\quad -3,\quad 0,\quad \frac{2}{7},\quad 1{,}25. \]

2. Иррациональные числа — числа, которые нельзя представить такой дробью. Их десятичная запись бесконечна и непериодична.
   Примеры:
   \[ \sqrt2,\quad \sqrt3,\quad \pi. \]

Итак: \[ \mathbb R=\{\text{рациональные числа}\}\cup\{\text{иррациональные числа}\}. \]

Важно: \(\sqrt9=3\) — действительное число, а \(\sqrt{-1}\) не является действительным числом, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Проверка: числа \(-4\), \(\frac13\), \(\sqrt5\) — действительные, а \(\sqrt{-9}\) — нет.