Решай 8 номер

Краткий ответ: все 8 неравенств верны при любых действительных значениях переменных.

Чтобы доказать неравенство, упростим обе его части и сравним их.

1. \[ (a+3)(a+1)=a^2+4a+3,\qquad a(a+4)=a^2+4a. \] Так как \[ a^2+4a+3>a^2+4a, \] неравенство доказано.

2. \[ 3(b-4)+2b=3b-12+2b=5b-12. \] Получаем: \[ 5b-12<5b-10, \] так как \(-12<-10\).

3. \[ (c-4)(c+4)=c^2-16. \] Так как \(-16>-20\), то \[ c^2-16>c^2-20. \]

4. \[ x(x+6)-x^2=x^2+6x-x^2=6x, \] а \[ 2(3x+1)=6x+2. \] Следовательно, \[ 6x<6x+2. \]

5. \[ (y+5)(y-2)=y^2+3y-10. \] Нужно доказать: \[ y^2+3y-10\ge 3y-10. \] После сокращения: \[ y^2\ge0. \] Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно. Равенство достигается при \(y=0\).

6. \[ (3m-1)^2=9m^2-6m+1. \] Нужно доказать: \[ 8m^2-6m+1\le 9m^2-6m+1. \] После сокращения: \[ 0\le m^2, \] что верно для любого \(m\). Равенство достигается при \(m=0\).

7. \[ a(a-2)=a^2-2a=(a-1)^2-1. \] Так как \[ (a-1)^2\ge0, \] то \[ (a-1)^2-1\ge-1. \] Равенство достигается при \(a=1\).

8. \[ (b+7)^2=b^2+14b+49. \] Сравним с правой частью: \[ b^2+14b+49-(14b+40)=b^2+9. \] Так как \[ b^2+9>0, \] то \[ (b+7)^2>14b+40. \]

Принцип: раскрываем скобки и переносим одинаковые слагаемые. В итоге обычно получаем очевидное утверждение: положительную константу или квадрат \(\ge0\).