Реши уравнение cos x +sin² (x –п/4)= 1/2
Решение sin²(x - π/4)
Мне нужно определить sin²(x - π/4). При чётном k значение x = π/2 + 2πn даёт sin²(π/4 + 2πn) = 1/2. При нечётном k значение x = 3π/2 + 2πn даёт sin²(5π/4 + 2πn) = 1/2. Обе части равны 1/2, так что это верно. Возможно, стоит преобразовать выражение, используя тождество, при этом не деля на cos x, чтобы не потерять решения. Я постараюсь дать ясный и краткий ответ, а затем привести ключевые шаги. Для удобства чтения и точности, возможно, отмечу, что sin²(x - π/4) — это действительно подразумеваемая функция.
Ответ:
\[
\boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z}
\]
Решение:
\[ \cos x+\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12. \]
Используем формулу: \[ \sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2}. \]
Тогда \[ \sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}2 =\frac{1-\sin 2x}{2}. \]
Подставим: \[ \cos x+\frac{1-\sin 2x}{2}=\frac12. \]
Умножим на \(2\): \[ 2\cos x+1-\sin 2x=1, \] \[ 2\cos x-\sin 2x=0. \]
Так как \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), получаем: \[ 2\cos x-2\sin x\cos x=0, \] \[ 2\cos x(1-\sin x)=0. \]
Отсюда: \[ \cos x=0 \quad\text{или}\quad \sin x=1. \]
Но \(\sin x=1\) уже входит в множество решений \(\cos x=0\). Поэтому:
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]
Проверка: при \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) имеем \(\cos x=0\), а
\[
\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12,
\]
значит левая часть равна \(\frac12\).
Обсуждение
2 сообщениянайти все корни этого уравнение промежуток [5п;6п] на диаграмме
На отрезке \([5\pi;6\pi]\) общее решение
\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Ищем \(k\):
\[ 5\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi k\le 6\pi, \]
\[ \frac92\le k\le \frac{11}2. \]
Единственное целое значение:
\[ k=5. \]
Тогда
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+5\pi=\frac{11\pi}{2}}. \]
На диаграмме:
\[ 5\pi=\frac{10\pi}{2} \quad\boxed{\frac{11\pi}{2}}\quad 6\pi=\frac{12\pi}{2} \]
То есть корень находится ровно посередине отрезка \([5\pi;6\pi]\).
