Номер 22
Объяснение алгебраического раскрытия скобок
У меня есть задача переставить и раскрыть алгебраические выражения. Я рассматриваю возможность сначала перечислить ответы, а затем объяснить лежащие в их основе принципы. Пользователь попросил подробное объяснение, поэтому мне нужно охватить все ключевые шаги, не углубляясь в каждое отдельное раскрытие скобок.
Я кратко изложу решение и приведу использованные формулы, а затем, возможно, проверю результаты обратным разложением на множители для большей ясности и точности. Важно довести проверку результатов до конца там, где это применимо!
Проверка результатов и следующие шаги
Я могу показать, как каждый результат корректно преобразуется обратно. Хотя числовая проверка может показаться излишней, полезно всё перепроверить. Я отмечаю, что следует сохранять умеренный уровень подробности. После полного ответа нужно добавить отдельную строку-маркер для содержательного следующего шага.
Я добавлю что-нибудь на русском языке с объяснением формулы куба разности, уложившись в 60 символов. Это поможет сохранить структуру и ясность!
Объясню формулу куба разности
Краткий ответ:
а) \((2a+3)(2a-3)=4a^2-9\);
б) \((y-5b)(y+5b)=y^2-25b^2\);
в) \((0{,}8x+y)(y-0{,}8x)=y^2-0{,}64x^2\);
г) \((b+0{,}5)^2=b^2+b+0{,}25\);
д) \((a-2x)^2=a^2-4ax+4x^2\);
е) \((ab-1)^3=a^3b^3-3a^2b^2+3ab-1\).
Основные формулы
\[ (A+B)(A-B)=A^2-B^2, \]
\[ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2, \]
\[ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2, \]
\[ (A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3. \]
Применяем их:
а) разность квадратов: \[ (2a)^2-3^2=4a^2-9; \]
б) разность квадратов: \[ y^2-(5b)^2=y^2-25b^2; \]
в) переставим слагаемые: \[ (y+0{,}8x)(y-0{,}8x) =y^2-(0{,}8x)^2 =y^2-0{,}64x^2; \]
г): \[ b^2+2\cdot b\cdot0{,}5+0{,}5^2 =b^2+b+0{,}25; \]
д): \[ a^2-2\cdot a\cdot2x+(2x)^2 =a^2-4ax+4x^2; \]
е), где \(A=ab\), \(B=1\): \[ (ab-1)^3=(ab)^3-3(ab)^2+3ab-1. \]
Проверка выполняется обратным применением этих формул: полученные многочлены снова сворачиваются в исходные произведения.
