Обьясни лагорифмы

Кратко

Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число:

\[ \log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b \]

Читается: «логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) равен \(c\)».

Например:

\[ \log_2 8=3, \]

потому что

\[ 2^3=8. \]

Как находить логарифм

Нужно ответить на вопрос:

В какую степень надо возвести основание?

Пример 1

\[ \log_3 81 \]

Ищем степень:

\[ 3^4=81. \]

Значит,

\[ \log_3 81=4. \]

Пример 2

\[ \log_5 1=0, \]

потому что

\[ 5^0=1. \]

Пример 3

\[ \log_7 7=1, \]

потому что

\[ 7^1=7. \]

Важные свойства

При \(a>0\) и \(a\ne1\):

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \]

\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \]

\[ \log_a(x^n)=n\log_a x \]

Также:

\[ \log_a a=1,\qquad \log_a1=0. \]

Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ \log_a x \text{ существует только при } x>0. \]

Как решать логарифмическое уравнение

Рассмотрим:

\[ \log_3(x-1)=2. \]

Перепишем по определению логарифма:

\[ x-1=3^2. \]

\[ x-1=9, \]

\[ x=10. \]

Проверка области допустимых значений:

\[ x-1>0. \]

При \(x=10\):

\[ 10-1=9>0. \]

Проверка:

\[ \log_3(10-1)=\log_3 9=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=10}. \]

Главное правило: логарифм заменяется показателем степени:

\[ \log_a b=c \Longleftrightarrow a^c=b. \]