Даны векторы a→{4; 1; 2} , b→{3;0;1} , c→{−5;−2;4} . Найдите координаты и длины векторов: 3a→+b→ ; 2b→−c→ ; −3a→−b→+5c→ .

Краткий ответ:

\[ 3\vec a+\vec b=(15;3;7),\qquad \left|3\vec a+\vec b\right|=\sqrt{283}. \]

\[ 2\vec b-\vec c=(11;2;-2),\qquad \left|2\vec b-\vec c\right|=\sqrt{129}. \]

\[ -3\vec a-\vec b+5\vec c=(-40;-13;13),\qquad \left|-3\vec a-\vec b+5\vec c\right|=\sqrt{1938}. \]

Решение

Действия с векторами выполняем по координатам, а длину вектора
\(\vec v=(x;y;z)\) находим по формуле:

\[ |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

1. Находим \(3\vec a+\vec b\):

\[ 3\vec a=3(4;1;2)=(12;3;6), \]

\[ 3\vec a+\vec b=(12;3;6)+(3;0;1)=(15;3;7). \]

Длина:

\[ \sqrt{15^2+3^2+7^2} =\sqrt{225+9+49} =\sqrt{283}. \]

2. Находим \(2\vec b-\vec c\):

\[ 2\vec b=2(3;0;1)=(6;0;2), \]

\[ 2\vec b-\vec c=(6;0;2)-(-5;-2;4)=(11;2;-2). \]

Длина:

\[ \sqrt{11^2+2^2+(-2)^2} =\sqrt{121+4+4} =\sqrt{129}. \]

3. Находим \(-3\vec a-\vec b+5\vec c\):

\[ -3\vec a=(-12;-3;-6),\qquad -\vec b=(-3;0;-1), \]

\[ 5\vec c=5(-5;-2;4)=(-25;-10;20). \]

Тогда

\[ (-12;-3;-6)+(-3;0;-1)+(-25;-10;20) =(-40;-13;13). \]

Длина:

\[ \sqrt{(-40)^2+(-13)^2+13^2} =\sqrt{1600+169+169} =\sqrt{1938}. \]

Проверка выполнена: в каждой длине использованы квадраты найденных координат.