2cos(x+п/4)-2корня из 2 sin(п/2+x)=0

Ответ: \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]

Решение:

Используем формулы: \[ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt2}, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x. \]

Подставим в уравнение: \[ 2\cdot\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt2} -2\sqrt2\cos x=0. \]

Так как \(\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\), получаем: \[ \sqrt2(\cos x-\sin x)-2\sqrt2\cos x=0, \] \[ -\sqrt2(\sin x+\cos x)=0. \]

Следовательно, \[ \sin x+\cos x=0. \]

Представим левую часть так: \[ \sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \]

Тогда \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0, \] \[ x+\frac{\pi}{4}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Отсюда: \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]

Проверка: при \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\) оба слагаемых исходного уравнения равны по модулю \(2\) и имеют противоположные знаки, поэтому их сумма равна \(0\).