Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &D(f)=(-\infty;\tfrac85];\\ \text{б)}\quad &D(f)=(-\infty;-\tfrac14)\cup(-\tfrac14;+\infty);\\ \text{в)}\quad &D(f)=(-\infty;-5)\cup(5;+\infty);\\ \text{г)}\quad &D(f)=(-\infty;-3)\cup[2;+\infty);\\ \text{д)}\quad &D(f)=(-\infty;1)\cup(3;+\infty);\\ \text{е)}\quad &D(f)=(-\infty;-4]\cup\{-1\}\cup[0;+\infty). \end{aligned} \]

Основные правила

• Подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным.
• Корень нечётной степени существует при любых \(x\).
• Если корень находится в знаменателе, он не должен равняться нулю.

Решение

а)

\[ 8-5x\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\le \frac85. \]

Поэтому:

\[ D(f)=(-\infty;\tfrac85]. \]

б)

Пятый корень существует при всех \(x\), но знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ \sqrt[5]{4x+1}\ne0 \quad\Longrightarrow\quad 4x+1\ne0 \quad\Longrightarrow\quad x\ne-\frac14. \]

в)

Восьмой корень находится в знаменателе, поэтому:

\[ x^2-25>0. \]

Разложим на множители:

\[ (x-5)(x+5)>0. \]

Отсюда:

\[ x<-5\quad\text{или}\quad x>5. \]

г)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ \frac{x-2}{x+3}\ge0,\qquad x\ne-3. \]

Критические точки: \(-3\) и \(2\). Методом интервалов получаем:

\[ x\in(-\infty;-3)\cup[2;+\infty). \]

Точка \(x=2\) включается, так как значение под корнем равно нулю, а \(x=-3\) исключается из-за нулевого знаменателя.

д)

Числитель — корень нечётной степени, ограничений не создаёт. Для знаменателя:

\[ x^2-4x+3>0. \]

\[ (x-1)(x-3)>0 \quad\Longrightarrow\quad x<1\quad\text{или}\quad x>3. \]

е)

Оба корня имеют чётные степени, поэтому одновременно должны выполняться условия:

\[ x^2+5x+4\ge0, \qquad x^2+x\ge0. \]

Разложим:

\[ (x+1)(x+4)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le-4\ \text{или}\ x\ge-1; \]

\[ x(x+1)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le-1\ \text{или}\ x\ge0. \]

Пересечение этих множеств:

\[ D(f)=(-\infty;-4]\cup\{-1\}\cup[0;+\infty). \]

Граничные точки включены там, где подкоренное выражение равно нулю, а точки с нулевым знаменателем исключены.