С 6 по 10
Вычисление экстремумов и условий существования нулей
Я работаю над задачей, связанной с нахождением экстремумов нескольких квадратичных функций. Для функции a я определю минимум, найдя вершину, которая даёт x, равный -9/2, и минимальное значение 55/4. Для функции b вычисление вершины даёт максимальное значение y, равное 29/4, при x -1/6. Для функции c я применю аналогичный подход, найдя максимум 33/8 при x -5/4. Мне также нужно проверить условия, при которых конкретная квадратичная функция не имеет действительных корней.
План построения графиков
Мне нужно построить графики шести функций, обязательно указав вершины и несколько ключевых точек, чтобы их можно было проверить позже. В задании сказано: «построить графики функций». Кажется важным указать вершину и направление ветвей для каждого графика. Хотя я могу представить решения в письменном виде с каноническими формами и вершинами, мне также следует добавить точки. Сначала нужно решить все функции, а затем, возможно, перейти к следующим шагам.
Определение параметров для построения графиков
Я могу указать коэффициенты ширины и использовать формулу «вершина плюс» для построения. Формула для a-c уже дана, поэтому я могу проверить пересечения с осью x, чтобы построить график. Для d пересечений с осью x нет, поскольку функция всегда отрицательна. E имеет нули при x=0 и 2, а f имеет нули при x=0 и 5/2. Было бы полезно обобщить это в таблице, включающей канонические преобразования и вершины.
Рассмотрение точек графиков
Я обобщаю ключевые точки в компактной форме. Для функций a, b, c, d, e и f я хочу убедиться, что они указаны ясно: для a начальная точка — V(0,0), с точками (\(\pm1,1\)), для b — с точками (\(\pm1,-1\)), и так далее.
Я также думаю о направлениях, подразумеваемых этими точками, например ↑/↓. Возможно, я мог бы упростить канонические формы для e и f, полностью отказавшись от указания точек. Цель — оставить только необходимое для проверки.
6.
а) \(V(0;0)\), ветви вверх.
б) \(V(0;0)\), ветви вниз.
в) \(V(0;0)\), ветви вверх.
г) \(V(0;-5)\), ветви вниз.
д) \(y=(x-1)^2-1\): \(V(1;-1)\), ветви вверх.
е) \(y=-2\left(x-\frac54\right)^2+\frac{25}{8}\): \(V\left(\frac54;\frac{25}{8}\right)\), ветви вниз.
7.
а) \(x=-2;\ -\frac12\).
б) \(x=-3;\ -\frac13\).
в) Нулей нет, так как \(D=1-40=-39<0\).
8.
а) \(E(y)=[2;+\infty)\).
б) \(E(y)=[-1;+\infty)\).
в) \(E(y)=[3;+\infty)\).
г) \(E(y)=(-\infty;3]\).
д) \(E(y)=\left(-\infty;\frac94\right]\).
е) \(E(y)=\left[-\frac13;+\infty\right)\).
ж) \(E(y)=[11;+\infty)\).
з) \(E(y)=(-\infty;13]\).
9.
а) Минимум: \(x=-\frac92,\quad y_{\min}=\frac{55}{4}\).
б) Максимум: \(x=-\frac16,\quad y_{\max}=\frac{29}{4}\).
в) Максимум: \(x=-\frac54,\quad y_{\max}=\frac{33}{8}\).
10.
\(D=t^2-64<0\Rightarrow -8<t<8\).
